对象：被 G 作用的阿贝尔群
一个 G-模 是一个 阿贝尔群 A，配上群 G 通过自同构的作用：每个 g 给出自同构 a ↦ g·a，且相容地满足 (gh)·a = g·(h·a)、1·a = a，以及 g·(a+b) = g·a + g·b。等价地——这句口号值得记住——A 就是 群代数 Z[G] 上的一个 模。群上同调不过是取不变量这一函子的导出函子。
三个贯穿全轨的例子。(1) 平凡作用：对所有 g 有 g·a = a；此时 A 只是记得 G 在场的阿贝尔群。(2) 对 G = Gal(L/K)，加法群 L 与乘法群 L* 都是 G-模——作用 就是 自同构 对域中元素的自然作用。(3) 群 E 中的正规子群 A，被商群 G = E/A 经共轭作用；当 A 阿贝尔时它是 G-模。三者都请记牢，各有回报。
H^0 即不变量，麻烦正从此处开始
定义 不变量 A^G = { a ∈ A : 对所有 g 有 g·a = a }。这已是零次上同调：H^0(G, A) = A^G。平凡作用下 A^G = A；L 在 Gal(L/K) 下 L^G = K，这正是 伽罗瓦扩张 的定义；同一群作用于 L* 时 (L*)^G = K*。目前并不神秘——H^0 只记录对称所固定者。
麻烦在于：函子 A ↦ A^G 仅 [[left-exact-functor|左正合]]。把它作用于 G-模的 短正合列 0 → A → B → C → 0，得到正合的 0 → A^G → B^G → C^G——但最后一映射未必满。C 中某个 G-不变元素在 B 中可能没有 G-不变原像。这种满性的失败是实在的代数内容，而高次上同调群 H^1、H^2……正是通过一条 长正合列 来度量它的机器。
G = Z/2Z = {1, s}, A = Z with the sign action s·n = -n.
Invariants: A^G = { n in Z : -n = n } = {0}.
Now the multiplication-by-2 sequence of G-modules
0 -> Z --(x2)--> Z --(mod 2)--> Z/2Z -> 0 (sign action on the two Z's; trivial on Z/2Z)
apply ( - )^G :
0 -> 0 -> 0 -> Z/2Z
The class 1 in (Z/2Z)^G = Z/2Z is invariant but has NO invariant preimage,
because B^G = 0. Surjectivity fails. That missing piece is detected by H^1(G, Z),
the first place the long exact sequence continues.