局部化、赋值环与 Krull 维数

局部化：通过求逆来放大

分式域把整环的每个非零元都求逆。局部化是受控的版本：只对选定的乘性集求逆。要研究环在素理想 P 附近的行为，就把 P *之外* 的一切求逆——即集合 S = R∖P——得到在 P 处的局部化，记作 R_P。其元素是分式 a/s，其中 s ∉ P。

奇妙之处：R_P 总是局部环——它有唯一的极大理想 PR_P。P 之外的一切都成了单位，故 P 是仅存的障碍。局部化是正合的，且与商、有限交可交换，这使它成为把全局问题逐个素理想化归的标准工具。

R = Z, P = (5).  Then R_P = Z_(5) = { a/b : b not divisible by 5 }.
  Units: a/b with 5 not dividing a (and not b).
  Only non-unit prime: (5)Z_(5). So Z_(5) is local, max ideal (5).
  e.g. 1/3, 7/2, 100/3 are all in Z_(5); but 1/5 is NOT.

Primes of R_P  <->  primes of R contained in P:
  Spec Z_(5) = { (0), (5)Z_(5) } -- just the chain (0) c (5).
Localization 'deletes' every prime not below P and keeps the rest.
This is exactly zooming the picture in onto the point P.

在 (5) 处局部化只保留 ⊆ (5) 的素理想；结果是以 (5) 为极大理想的局部环。

离散赋值环：曲线的光滑点

把一条良好曲线在某点局部化，就得到离散赋值环 (DVR)：一个不是域的局部主理想整环。等价地，一个带赋值 v: K^× → Z 的整环，该赋值度量函数在该点处的零点阶。存在唯一的 单值化元 π 生成极大理想，且每个非零元唯一地表为一个单位乘以 π 的某次幂。

Many equivalent definitions of a DVR (R local, domain, NOT a field):
  (a) R is a PID with a unique nonzero prime ideal;
  (b) the maximal ideal m is principal, m = (pi), and  n m^n = 0;
  (c) R is integrally closed, Noetherian, with Krull dimension 1;
  (d) there is a discrete valuation v on Frac(R) with R = {x : v(x) >= 0}.

Prototype: R = k[x]_(x) = rational functions f/g with g(0) != 0.
  Uniformizer pi = x.  v(f) = order of vanishing of f at 0.
    v(x^3 * unit) = 3,  v((x^2+x)/(1+x)) = v(x(x+1)/(1+x)) = 1.
  Ideals are exactly (x^n), a single chain (1) > (x) > (x^2) > ...
A Dedekind domain is precisely a domain that is a DVR at every nonzero prime.

DVR 的五副面孔；赋值 v 记录零点阶，把理想强制排成一条链。

Krull 维数：数素理想链

一切汇成一个数。R 的 Krull 维数是素理想严格链 P_0 ⊊ P_1 ⊊ … ⊊ P_d 长度 d 的上确界。素理想 P 的高度是局部环 R_P 的维数——即 P *以下* 最长的链。这是维数的纯代数定义，而诺特正规化使它与几何定义吻合：dim k[x_1,…,x_n] = n。

dim Z = 1:   longest chain is  (0) c (p),  length 1.
dim k = 0:   a field has only the prime (0).  length 0.
dim k[x] = 1:   (0) c (x - a).
dim k[x,y] = 2: (0) c (x) c (x, y).  Three primes, chain length 2.
In general dim k[x_1,...,x_n] = n  (a clean Noether-normalization corollary).

Krull's principal ideal (Hauptidealsatz): in a Noetherian ring, a minimal
prime over a SINGLE nonzero element f has height <= 1.
  => cutting by one equation drops dimension by at most one.
  Geometric reading: a hypersurface V(f) in n-space has dimension >= n-1.
Iterating: V(f_1,...,f_c) has every component of dimension >= n - c.

经由素理想链定义的 Krull 维数；主理想定理控制一个方程如何削减维数。

压轴是 Krull 主理想定理及其逆：在诺特局部环中，素理想的高度等于以该素理想为极小素理想的理想所需生成元的 *最少* 个数。当此最少个数等于维数时——生成元少到维数所允许的极限——该局部环是正则局部环，即光滑点的代数标志。从有限性（希尔伯特）到几何（零点定理）到维数（Krull）：贯穿其中的始终是同样的素理想链。