整 = 代数，但系数取自基环且首一
对域扩张，「代数」意指满足一个基域上的多项式。对环，我们要求该多项式 首一——这一个词就是全部关键。给定 R ⊆ S，元素 s ∈ S 若满足 s^n + r_{n−1}s^{n−1} + … + r_0 = 0（某些 r_i ∈ R，首项系数为 1），则称 s 在 R 上 整。在域上首一是自动的，故这恰好还原 代数；在 Z 上它迫使 s 成为代数 *整数*，而非任意代数数。
主力引理——行列式技巧——表明：s 在 R 上整，当且仅当 R[s] 是有限生成 R-模。由此可得：所有在 R 上整的元素之集，即 整闭包，构成一个子环，且整性具有传递性。
Determinant trick (why integral <=> finite module):
Suppose M = R[s] is generated as an R-module by m_1,...,m_n, with s*M c M:
s * m_i = sum_j a_ij m_j , a_ij in R.
In matrix form: (s*I - A) * [m_1; ...; m_n] = 0, where A = (a_ij).
Multiply by the adjugate: det(s*I - A) * m_i = 0 for every i.
Since 1 is an R-combination of the m_i, det(s*I - A) * 1 = 0.
But det(s*I - A) = s^n + (lower) is a MONIC polynomial in s with R-coeffs.
So s satisfies a monic equation over R => s is integral. QED
Example: sqrt(2) is integral over Z: x^2 - 2 = 0 (monic). It IS an alg. integer.
(1/2) is NOT integral over Z: any monic x^n + ... + c_0 = 0 with
x = 1/2 clears to 1 + 2(...) = 0, forcing 2 | 1. Impossible.上升：素理想沿整映射抬升
若 R ⊆ S 是整扩张，则诱导映射 Spec S → Spec R 在几何上是 有限满 映射——一个分支覆盖。上升定理 把满性及更多内容说精确：R 的每个素理想都被覆盖到，且下层的素理想链可以抬升为上层的素理想链。
- 盖覆 (lying over)。 对 R 的每个素理想 P，都有 S 的素理想 Q 使 Q ∩ R = P。故 Spec S → Spec R 是满射。
- 上升。 给定 R 中 P_1 ⊆ P_2，以及 S 中位于 P_1 之上的素理想 Q_1，则存在 Q_2 ⊇ Q_1 位于 P_2 之上。链可抬升。
- 不可比性。 位于同一 P 之上的两个不同 S-素理想绝不互相包含。故纤维是离散的。
诺特正规化：每个簇都覆盖仿射空间
现在是结构上的高潮。诺特正规化：若 A 是域 k 上有限生成的代数，则存在在 k 上 代数无关 的元素 y_1,…,y_d ∈ A，使 A 作为多项式子环 k[y_1,…,y_d] 上的 *模* 是有限生成的——即整的。几何上：每个仿射簇都有一个到仿射空间 A^d 的有限满射，而 d 即其 维数。
Toy case: A = k[x,y]/(xy - 1) (the hyperbola, dimension 1).
x and y are not independent (xy = 1). Is k[x] a normalizing subring?
No: y = 1/x is NOT integral over k[x]
(it would satisfy a monic poly over k[x], impossible as above).
Fix by a linear change: set t = x + y. Claim A is integral over k[t].
From xy = 1 and x + y = t: x, y are the two roots of
T^2 - t*T + 1 = 0 (monic over k[t]).
So x and y are each integral over k[t]. Hence A = k[t][x,y] is
a finite module over k[t]. Here d = 1: the hyperbola finitely covers A^1.
(The generic linear change of coordinates works whenever k is infinite;
over finite fields use a slightly twisted substitution.)