可表函子
在局部小范畴 C 中固定一个对象 A。指派 h^A = Hom(A, −) : C → Set 是一个函子(它把 f : X → Y 送到后复合 f∘− : Hom(A, X) → Hom(A, Y))。函子 F : C → Set 称为[[representable-functor|可表]],若它自然同构于某个 Hom(A, −);称对象 A 表示 F。可表性是伪装的泛性质:A 表示 F 恰当 F 带有一个泛元素。
米田引理
这就是整条轨道所指向的定理。对任意函子 F : C → Set 与任意对象 A,[[yoneda-lemma|米田引理]]给出一个对 A 与 F 都自然的双射:Nat( Hom(A, −), F ) ≅ F(A)。从可表函子 Hom(A, −) 出发的自然变换,与 F(A) 中的单个元素是同一份数据。一旦问对了问题,证明只是一行计算。
Yoneda lemma: Nat( Hom(A,-), F ) ~= F(A).
Proof (both directions explicit):
-> Given a natural transformation eta : Hom(A,-) => F,
look at its component at A:
eta_A : Hom(A,A) -> F(A).
Feed it the identity: u := eta_A(id_A) in F(A).
Send eta |-> u.
<- Given u in F(A), DEFINE eta by, for f : A -> X,
eta_X(f) := F(f)(u) in F(X).
Naturality of eta is forced by functoriality of F.
These are mutually inverse:
start from eta, get u = eta_A(id_A), rebuild eta'_X(f)=F(f)(u);
naturality square of eta at f : A -> X says
eta_X( f o id_A ) = F(f)( eta_A(id_A) ),
i.e. eta_X(f) = F(f)(u) = eta'_X(f). So eta' = eta. QED.
Corollary (Yoneda embedding). Take F = Hom(B,-):
Nat( Hom(A,-), Hom(B,-) ) ~= Hom(B,A).
So natural transformations between representables are exactly
the morphisms B -> A. The functor A |-> Hom(A,-) is
FULLY FAITHFUL (contravariantly). An object is determined,
up to unique iso, by the functor it represents.米田嵌入推论是其哲学落点。映射 A ↦ Hom(−, A) 把 C 全忠实地嵌入函子范畴 Cᵒᵖ → Set。全忠实意味着:两个对象若(自然地)有相同的映入它们的映射,则它们同构;且对象的同构恰对应于其可表函子的自然同构。认识一个对象,就是认识映入它的一切映射。这正是泛性质奏效的原因——它们钉死了可表函子,而米田说这就钉死了对象。