伴随函子与范畴等价

伴随双射

两个函子 F : C → D 与 G : D → C 称为[[adjoint-functor|伴随]],记 F ⊣ G(F 左伴随,G 右伴随),若存在对两个变量都自然的双射 Hom_D(F(A), B) ≅ Hom_C(A, G(B))。读作:从“自由”对象 F(A) 出发的映射,与映入“底层”对象 G(B) 的映射,是同一份数据。第三篇的泛性质恰恰就是说某些函子有伴随。

Free group F : Set -> Grp  is LEFT adjoint to forgetful U : Grp -> Set.

  Adjunction:   Hom_Grp( F(S), H )  ~=  Hom_Set( S, U(H) ).

Unwound: a group homomorphism out of the free group on S is
the SAME thing as a plain function from S to the elements of H.
That is the universal property of a free group -- 'specify a
homomorphism by sending the generators anywhere you like.'

Tensor-Hom adjunction (R commutative, fix module M):

  Hom_R( A (x) M , B )  ~=  Hom_R( A , Hom_R(M, B) ).

So  - (x) M  is LEFT adjoint to  Hom_R(M, -).
This is exactly the universal property of the
[[tensor-product|tensor product]]: bilinear maps A x M -> B
<-> linear maps A (x) M -> B.

Unit and counit (the structural data):
  unit    eta : id_C => G F   (e.g. S -> U F(S), x |-> x as a word)
  counit  eps : F G => id_D   (e.g. F U(H) -> H, evaluate the word)
satisfying the triangle identities
  (eps F)(F eta) = id_F,   (G eps)(eta G) = id_G.

两个你早已隐隐知道的伴随:自由 ⊣ 遗忘,以及张量 ⊣ Hom。

伴随的保持性,与正合的线索

伴随不只是记账——它有锋牙。左伴随保持余极限,右伴随保持极限(口诀:左保余、右保极)。仅这一条定理就解释了,例如张量积为何对直和分配(⊗ 是左伴随,⊕ 是余极限),以及 Hom(M, −) 为何把积送到积。它也解释了失败:⊗ 是左伴随,故未必保持作为核的那个极限——这正是 ⊗ 仅右正合、而 Tor 出来度量其缺陷的原因。

范畴等价

范畴的同构(F 与 G 满足 FG = id、GF = id 严格相等)过于刚硬,无甚用处。正确的概念是[[equivalence-of-categories|等价]]:函子 F : C → D、G : D → C 配自然同构 GF ≅ id_C 与 FG ≅ id_D。等价的范畴“就一切范畴目的而言相同”,哪怕其对象是天差地别的集合。等价地说,F 是等价当且仅当它全忠实(在每个 Hom-集上双射)且本质满(D 的每个对象都同构于某个 F(A))。

有限维 Vect_k 等价于以 n × m 矩阵为态射 n → m 的自然数范畴。线性代数“就是”矩阵代数——这是一个等价,而非同构。
伴随 F ⊣ G 恰当其单位与余单位都是同构时升级为等价。故等价是伴随的一个强而对称的特例。