泛性质:积、余积、极限

用映射定义积与余积

这就是让范畴论强大的那一招。A 与 B 的[[categorical-product|积]]是一个对象 A×B,带投影 p : A×B → A、q : A×B → B,使得对任意带映射 f : T → A 与 g : T → B 的对象 T,存在唯一的 h : T → A×B 满足 p∘h = f 且 q∘h = g。我们没说 A×B 由什么构成——我们说了一切如何映入它。这一要求,即泛性质,把该对象钉死了。

在 Set 中,积是笛卡尔积 A × B 配显然的投影;唯一的 h 是 t ↦ (f(t), g(t))。
在 Grp 中,积是直积 G × H 配分量运算;在 Vect 中是直和 V ⊕ W(有限情形)。
[[coproduct|余积]]翻转所有箭头:从 A、B 出发的映射唯一地穿过 A ⊔ B。在 Set 中是无交并;在 Vect 中是直和;在 Grp 中是自由积;在 CRing 中是环的张量积。同一泛形状,具体对象却天差地别。

Product universal property as a commuting diagram:

         T
        /|\
     f / |h\ g       <-- h is the UNIQUE arrow making
      /  |  \            both triangles commute
     v   v   v
     A<--AxB-->B
        p   q

Uniqueness up to UNIQUE iso. Suppose P and P' both satisfy
the product property for (A,B). Each maps into the other by
its universal arrow:
   u : P -> P'   (from P's maps into A,B)
   v : P' -> P   (from P's maps into A,B)
Then v o u : P -> P satisfies the SAME property that id_P
does (projections unchanged). By the UNIQUENESS clause,
v o u = id_P; symmetrically u o v = id_{P'}.
=> P and P' are isomorphic, by a UNIQUE iso compatible with
the projections. The product is well-defined 'as an object
in C', construction-independent.

泛性质为何在唯一同构意义下确定其对象——论证永远是这一套。

始、终,以及极限这把伞

两个退化却关键的情形。[[initial-object|始对象]] 0 对每个对象恰有一个箭头 0 → A;[[terminal-object|终对象]] 1 对每个对象恰有一个箭头 A → 1。在 Set 中,∅ 是始的,任意单点集是终的。在 Grp 中平凡群既始又终。在 CRing 中 Z 是始的,零环是终的。由上面同样的论证,始对象与终对象在唯一同构意义下唯一。

这些都是特殊的[[alg-limit|极限]]。极限是一个图上的泛锥:终对象是空图的极限,积是两个无连接对象的极限,而[[pullback|拉回]](纤维积)是 A → C ← B 的极限。对偶地,[[colimit|余极限]]是泛余锥:始对象、余积与推出。商、核与正向极限都归于此。学会读出“这是极限/余极限”,就把零散的构造统一成一套词汇。