范畴打包了什么
整个第一卷你研究的都是结构连同尊重它的映射:群配上群同态,环配上环同态,向量空间配上线性映射。每一次,映射的复合都满足结合律,每个对象都有恒等映射。范畴正是把这一模式单独命名、加以研究——我们不再盯着群的内部,而是开始观察事物之间的箭头如何行事。
一个范畴 C 由一族对象构成,并对每一对有序对象 (A, B) 配一族态射 Hom(A, B),画作箭头 f : A → B。复合法则把 f : A → B 与 g : B → C 送到 g∘f : A → C,而每个对象 A 配一个恒等态射 id_A。两条公理统御一切:复合满足结合律,h∘(g∘f) = (h∘g)∘f;恒等态射是单位元,f∘id_A = f = id_B∘f。
你早已身处其中的例子
- Set:对象是集合,态射是函数。最朴素的本营范畴——其余一切都映入其中。
- Grp、Ring、Vect_k、Mod_R:对象是群/环/k-向量空间/R-模;态射是保结构映射。它们是代数的主力。
- 把单个群 G 看成范畴:一个对象 •,每个 g ∈ G 对应一个态射,复合即群运算。恒等与结合律恰是群公理。群就是一个单对象范畴,其中每个箭头都可逆。
- 把偏序集 (P, ≤) 看成范畴:对象是元素;当 x ≤ y 时恰有一个箭头 x → y,否则没有。复合即传递性。序理论就成了任意两对象间至多一个箭头的范畴论。
请注意这张网铺得多广:同一套公理既覆盖整个群的宇宙,也覆盖单个群;既覆盖集合范畴,也覆盖一个朴素的偏序集。这份广度正是要害——关于范畴证明的一条定理,一举适用于它们全体。
图与同构
当同一对对象之间的每条有向路径给出相等的复合时,称图交换。这是范畴论用图像陈述等式的方式。态射 f : A → B 称为[[isomorphism|同构]],若存在 g : B → A 使 g∘f = id_A 且 f∘g = id_B。在 Grp 中这还原为群同构;在 Set 中是双射;在偏序范畴中,同构迫使 x ≤ y 与 y ≤ x,即 x = y——只有恒等是同构。
An iso defined purely by arrows (no elements):
f : A -> B is iso iff exists g : B -> A with
g o f = id_A and f o g = id_B.
The two triangles that must commute:
f g
A ------> B B ------> A
\ | \ |
id_A\ |g id_B\ |f
\ v \ v
----> A ----> B
Contrast with Set: 'bijective' is stated with elements
(injective + surjective). The categorical 'has a two-sided
inverse arrow' needs NO elements -- it works in Grp, Top,
any category. Same notion, element-free.