素数在上方可以做的三件事
固定一个次数为 n = [K:Q] 的数域 K 和一个有理素数 p。在 O_K 中，理想 (p) 一般不再是素的；根据理想的唯一分解，它分解为 (p) = p_1^(e_1) ··· p_g^(e_g)，其中 p_i 是互异的素理想。每个 p_i 附带两个整数：分歧指数 e_i（它的指数）和惯性次数 f_i = [O_K/p_i : F_p]，即剩余有限域扩张在 F_p 上的次数。
通过戴德金分解定理计算分裂
当 O_K = Z[θ]，且 θ 的极小多项式为 m(x) 时，有一个优美而机械的方法：对不整除指数的素数 p，将 m(x) 模 p 在 F_p 上分解为不可约因子。(p) 的分解恰好与之对应——每个次数为 f、出现幂次为 e 的不可约因子，给出一个惯性次数为 f、分歧指数为 e 的素理想 p_i。
K = Q(i), O_K = Z[i], m(x) = x^2 + 1. Factor (p):
p = 5: x^2+1 ≡ (x+2)(x+3) (mod 5) [2*3=6≡1, distinct]
==> (5) = (5, i+2)(5, i+3) = p1 p2, e=f=1, g=2 -> SPLIT
(indeed 5 = (2+i)(2-i))
p = 3: x^2+1 irreducible (mod 3) [no root: 0,1,1]
==> (3) stays prime, e=1, f=2, g=1 -> INERT
p = 2: x^2+1 ≡ (x+1)^2 (mod 2)
==> (2) = (2, i+1)^2 = p^2, e=2, f=1, g=1 -> RAMIFIED
(indeed 2 = -i(1+i)^2, and 1+i generates p)
Check e*f*g = n = 2 in every case. And note 2 | disc(Z[i]) = -4:
the ONLY ramified prime is 2 -- the one dividing the discriminant.判别式确定分歧
为什么 2 是上方唯一分歧的素数？因为[[discriminant-of-a-number-field|判别式]] d_K，它是由整基构造出的 K 的整数不变量（推广了多项式判别式）。干净的定理：素数 p 在 K 中分歧当且仅当 p 整除 d_K。由于只有有限多个素数整除 d_K，分歧是一种有限的、可控的现象——几乎所有素数都不分歧。