分式理想使理想成为一个群
普通理想可以相乘，但没有逆元——你无法做除法。修复方法是扩大：O_K 的[[fractional-ideal|分式理想]]是 K 的一个非零有限生成 O_K-子模，等价于 (1/d)·I，其中 I 是普通理想，d 在 O_K 中。在戴德金整环中，每个非零分式理想都可逆：其逆为 { x ∈ K : x·a ⊆ O_K }。因此非零分式理想在乘法下构成一个阿贝尔群 J_K，单位元为 O_K。
根据理想的唯一分解，J_K 实际上是素理想上的自由阿贝尔群：每个分式理想都是有限乘积 ∏ p^(n_p)，指数 n_p 为整数（允许负指数）。这使得 J_K 中的计算变成对指数向量的记账。
对主理想取商：类群
J_K 内部坐落着主分式理想 P_K = { (x) : x ∈ K* }，它们构成一个子群（因为 (x)(y) = (xy)）。商 Cl(K) = J_K / P_K 就是[[ideal-class-group|理想类群]]。两个理想属于同一类当且仅当它们相差一个主理想的乘法——即 a = (x)·b 对某个 x ∈ K。这是一种商式构造，只不过作用于群。
有限性与一个类数计算实例
深刻的定理是 Cl(K) 有限——通过闵可夫斯基界证明，这是一个数的几何估计，保证每个理想类都包含一个范数至多为 M_K 的整理想。因此要求出 Cl(K)，你只需分解有限多个素数 p ≤ M_K，并追踪它们之上的素理想的类。
- 由判别式以及实/复嵌入的个数计算闵可夫斯基界 M_K。
- 列出所有 p ≤ M_K 的有理素数；将每个 (p) 分解为 O_K 的素理想。
- Cl(K) 由这些素理想的类生成；通过识别主理想（小范数元素）找出它们之间的关系。
K = Q(sqrt(-5)), O_K = Z[sqrt(-5)], disc = -20. Minkowski bound M_K = (4/pi) * sqrt(20) / 4 ≈ 2.84. ==> only need primes p <= 2, i.e. p = 2. Factor (2): x^2+5 ≡ x^2+1 ≡ (x+1)^2 (mod 2) ==> (2) = p^2 with p = (2, 1+sqrt(-5)). Is p principal? If p = (a+b sqrt(-5)) then N(p) = 2 = a^2+5b^2, which has no integer solution. So p is NON-principal: [p] != 1. But p^2 = (2) is principal, so [p]^2 = 1 in Cl(K). Cl(K) is generated by [p] of order 2. ==> Cl(Q(sqrt(-5))) ≅ Z/2Z, class number h_K = 2. Reading: h_K = 2 != 1 confirms Z[sqrt(-5)] is NOT a UFD, exactly matching the 6 = 2*3 = (1+s)(1-s) failure.