数域及其内部的整数
数域是有理数 Q 的一个有限域扩张 K——即 [K:Q] 是一个有限数，并且根据本原元定理，我们可以将 K 写成 K = Q(α)，其中 α 是单个代数数。除 Q 本身外，最基本的例子是二次域，如 Q(√-5) 或 Q(i)。数论存在于这些域内部，但不在整个 K 上：算术发生在一个特殊的子环中，它扮演着 Z 在 Q 中所扮演的角色。
代数整数是这样一种代数数：它在 Q 上的极小多项式具有整数系数且是首一的。等价地，α 是代数整数当且仅当它满足 Z[x] 中的某个首一多项式。因此 √2（x²-2 的根）和黄金比例（x²-x-1 的根）是代数整数，而 1/2（2x-1 的根，在 Z 上不是首一的）则不是。这恰好就是在 Z 上整的概念——见整扩张。
为什么代数整数构成一个环
两个代数整数之和或之积仍是代数整数，这一点并不显然——把两个首一多项式的根相加，并不显然给出一个首一关系。干净的论证是模论的：α 是代数整数当且仅当子环 Z[α] 是有限生成的 Z-模。如果 α、β 都是整的，那么 Z[α,β] 在 Z 上有限生成，因此它的每个元素——包括 α+β 和 αβ——都落在一个有限生成的 Z-模中，从而是整的。这就是整闭包中标准的“整闭包是环”的论证。
因此 K 内部的代数整数构成一个环，即整数环 O_K。它是 Z 在 K 中的整闭包。抽象地说，O_K 是秩为 n = [K:Q] 的自由 Z-模；它的一组 Z-基称为整基。一旦有了整基，你就可以完全在 O_K 内部进行真正的算术——加法、乘法、分解。
实例：二次域的整数环
取 K = Q(√d)，其中 d 是无平方因子整数。一个朴素的猜测是 O_K = Z[√d]，但这有一半时候是错的。设 α = a + b√d，其中 a、b 为有理数。它的共轭是 a - b√d，因此迹 = 2a，范数 = a² - d b²。元素 α 是代数整数当且仅当 2a 与 a² - db² 都是普通整数。追踪这个同余关系会揭示出对 d mod 4 的依赖。
K = Q(sqrt(d)), d squarefree. alpha = a + b*sqrt(d).
min poly: x^2 - (2a)x + (a^2 - d b^2).
alpha integral <=> 2a in Z and a^2 - d b^2 in Z.
Let 2a = m, 2b = n (so a=m/2, b=n/2). Then
4(a^2 - d b^2) = m^2 - d n^2 must be ≡ 0 (mod 4).
m^2 - d n^2 ≡ 0 (mod 4).
Case d ≡ 2,3 (mod 4): forces m,n both even => a,b in Z.
==> O_K = Z[sqrt(d)], integral basis {1, sqrt(d)}.
Case d ≡ 1 (mod 4): m,n may both be odd; m ≡ n (mod 2) works.
==> O_K = Z[(1+sqrt(d))/2], integral basis {1, (1+sqrt(d))/2}.
Examples:
d = -1 (≡ 3): O_K = Z[i] (Gaussian integers)
d = -5 (≡ 3): O_K = Z[sqrt(-5)]
d = -3 (≡ 1): O_K = Z[(1+sqrt(-3))/2] (Eisenstein integers)
d = 5 (≡ 1): O_K = Z[(1+sqrt(5))/2] (golden ratio is an integer!)