零点定理：封印这部字典

I 与 I(V(I)) 为何不同：根

考虑 k[x] 中的 I = (x^2)。则 V(I) = {0}，是 x^2 = 0 的单点。但 I({0}) = (x)，严格大于 (x^2)：函数 x 在原点为零，尽管 x 本身不在 I 中。障碍恰恰是幂：只要某个幂 f^m 落在 I 中，f 就在 V(I) 上为零。这样的 f 的集合是根 √I = { f : 对某个 m ≥ 1 有 f^m ∈ I }。

若 √I = I 则称理想 I 为 根理想。两个事实是现成的：每个素理想都是根理想，且 √I 总是包含 I 的理想。几何上 V 看不出 I 与 √I 的差别，因为 f 与 f^m 有相同的零点集。自然的问题是：根是否是唯一的障碍。

零点定理的两种形式

希尔伯特的回答是肯定的——只要 k 是代数闭域。这就是零点定理（‘零点轨迹定理’），它有两副面孔。

Let k be ALGEBRAICALLY CLOSED, R = k[x_1, ..., x_n].

WEAK Nullstellensatz.
  If I is a proper ideal (I != R) then V(I) is NONEMPTY.
  Contrapositive: the only way to cut out the empty set is
  with the whole ring.  Equivalently, every MAXIMAL ideal
  of R has the form  m_p = (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n)
  for a unique point  p = (a_1, ..., a_n) in A^n.

STRONG Nullstellensatz.
  For every ideal I:        I( V(I) ) = sqrt(I).

How STRONG follows from WEAK -- the 'Rabinowitsch trick':
  Suppose g vanishes on V(I), with I = (f_1,...,f_r).
  Add a new variable t and the polynomial  1 - t*g  to the
  list in R[t].  These have NO common zero (where the f_i
  vanish, g vanishes, so 1 - t*g = 1 != 0).  By WEAK, the
  ideal (f_1,...,f_r, 1 - t*g) = (1).  Write 1 as a combo,
  then substitute t = 1/g and clear denominators:
  a power  g^m  lands in I.  Hence g in sqrt(I).   QED

弱形式：空零点集迫使单位理想。强形式：I(V(I)) = √I，由 Rabinowitsch 技巧导出。

完善的字典

现在对应是确切的。在代数闭域上，V 与 I 是 k[x_1,…,x_n] 的 根理想 与 A^n 中 仿射簇 之间互逆、反序的一一对应。在它之下，素理想对应不可约簇（第三篇），极大理想对应单点。