不可约即素
非空簇 X 称为 不可约，若它不能写成 X = X_1 ∪ X_2，两个真子簇之并。两条坐标轴之并 V(xy) 是可约的；单条直线是不可约的。奇妙之处在于，这个几何概念有一个干净的代数判据。见 不可约簇。
THEOREM. X irreducible <=> I(X) is a PRIME ideal
<=> k[X] is an INTEGRAL DOMAIN.
Why prime <=> irreducible (the key direction):
Suppose I(X) is NOT prime: f*g in I(X) but f,g not in I(X).
Then X = (X cap V(f)) union (X cap V(g)):
- every point of X kills f*g, so kills f OR kills g;
- neither piece is all of X, since f,g do not vanish on X.
So X is reducible. Run the argument backwards for the
converse. And k[X] = k[x]/I(X) is a domain exactly when
I(X) is prime -- the standard ring fact.
Check V(xy): xy in (xy) but x,y not in (xy), so (xy)
is NOT prime -- matching the visibly reducible axes.
Whereas (xy) ... its prime components are (x) and (y),
the two axes.每个簇都分解成不可约分支
因为 k[x_1,…,x_n] 是诺特环，簇上的降链条件成立，标准论证迫使每个簇成为有限并 X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r，各 X_i 不可约且互不包含。这些 X_i 是 X 的 不可约分支，且唯一。这是理想 I(X) 的 准素分解 的几何投影。
维数，三种殊途同归的定义
簇有多大？几何上，X 的 维数 是使得存在不可约闭子集链 X_0 ⊊ X_1 ⊊ ⋯ ⊊ X_d ⊆ X 的最大 d。经字典翻译，这就是 k[X] 的 Krull 维数：素理想最长链的长度。同一个数，两种语言。见 簇的维数。
对不可约 X，还有第三种、极易计算的描述：dim X 等于 k[X] 的分式域在 k 上的 超越次数——‘代数自由’的坐标个数。诺特正规化 把这具体化：它把 k[X] 表示成多项式环 k[y_1,…,y_d] 的有限扩张，于是 X 有限地覆盖 A^d，而 d 就是维数。