映射 I：从点回到多项式
第一篇用 V 把理想送到点集。现在反转箭头。对任意子集 X ⊆ A^n，定义 I(X) = { f ∈ k[x_1, …, x_n] : 对所有 p ∈ X 都有 f(p) = 0 }。这就是簇 X 的 理想——X 的点所满足的全部多项式关系的集合。它确实是理想：若 f、g 在 X 上为零则 f + g 也为零，而对任意多项式 h，h·f 也为零。见 簇的理想。
这两个运算几乎互逆。总有 V(I(X)) ⊇ X，而等号恰当 X 本身是簇时成立——因此 V(I(X)) 是包含 X 的最小簇，即它的 闭包。又总有 I ⊆ I(V(I))。第二个包含中确切的差距，正是零点定理的全部内容，留到第四篇。
坐标环：簇上的函数
两个多项式在 X 上限制为同一函数，恰当它们的差落在 I(X) 中。于是 X 上的多项式函数构成 商环 k[X] = k[x_1, …, x_n] / I(X)，即 X 的 坐标环。它的元素是 正则函数——你能在簇上测量的多项式值观测量。这个环是几何对象的代数化身：关于 X 的一切都编码在 k[X] 中。
Example: the parabola X = V(y - x^2) in A^2.
k[X] = k[x, y] / (y - x^2).
In the quotient, y == x^2, so every class has a unique
representative that is a polynomial in x ALONE:
a0 + a1*x + a2*x^2 + ... (replace each y by x^2)
Hence the map k[X] -> k[t], x |-> t, y |-> t^2, is an
ISOMORPHISM. Geometrically: the projection (x,y) |-> x
identifies the parabola with the line A^1.
Contrast: the node Y = V(y^2 - x^3) in A^2.
k[Y] = k[x, y] / (y^2 - x^3).
Now x and y are tangled: y^2 = x^3 cannot be solved away,
and t |-> (t^2, t^3) maps A^1 ONTO Y but is NOT an
isomorphism of rings -- k[Y] sits inside k[t] as the
subring k[t^2, t^3] (missing the element t).
The ring SEES the cusp at the origin that the picture shows.Zariski 拓扑
第一篇中 V 的闭性质恰好就是拓扑闭集的公理：A^n 与 ∅ 是簇，有限个簇的并是簇，任意多个簇的交是簇。把簇规定为闭集，便在 A^n 上（并经限制在任意簇上）定义了 Zariski 拓扑。见 Zariski 拓扑。