仿射空间与零点集
固定一个域 k。k 上的 仿射 n 维空间 记作 A^n，就是 n 元组 (a_1, …, a_n) 的集合 k^n——但我们刻意剥去向量空间的结构。这里没有特殊的原点，没有我们在意的加法；A^n 是一个舞台，我们将在其上画出由多项式切割出的图形。仔细的陈述见 仿射空间。
给定 多项式环 k[x_1, …, x_n] 中的一组多项式 S，它的 零点集 是 V(S) = { p ∈ A^n : 对每个 f ∈ S 都有 f(p) = 0 }。形如此的集合就是 仿射簇。口号是：簇就是一族多项式的公共零点轨迹。请把 零点集 与 仿射簇 一起读——它们是同一想法的两半。
最初例子的画廊
我们来实际看几个。在 A^2 中，单个多项式 x^2 + y^2 − 1 切出一个圆；y − x^2 切出一条抛物线；xy 切出两条坐标轴的并（一个点消灭 xy 当且仅当 x = 0 或 y = 0）。我们已经看到既有‘一整块’的簇，也有明显裂成几块的簇——这是 不可约性 的种子，将在第三篇研习。
Work in A^3 over an algebraically closed field k.
The TWISTED CUBIC is the image of t |-> (t, t^2, t^3).
As a variety it is V(I) for the ideal
I = ( y - x^2, z - x^3 ).
Check a point lies on it: if y = x^2 and z = x^3, set t = x;
then (x, y, z) = (t, t^2, t^3). Conversely every such triple
kills both generators. So the curve = V(y - x^2, z - x^3).
Note: ONE equation in A^3 generally gives a SURFACE (2-dim);
to pin down a CURVE (1-dim) in A^3 we needed TWO equations.
Each independent equation tends to drop dimension by 1.
Warning that pays off later: the ideal of this curve is
NOT just (y - x^2, z - x^3) plus the obvious; e.g. the relation
x*z - y^2 = x*x^3 - (x^2)^2 = 0
also vanishes on it. Generators of an ideal are subtle.V 的性质——字典的前半部
运算 V 反转包含关系，并与理想的格结构相容。这些规则看似官僚，却恰恰是让 V 在第二篇成为一个拓扑的关键。
- 反序： 若 I ⊆ J 则 V(I) ⊇ V(J)。方程越多，解越少（或相等）。
- 并： V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J) = V(IJ)。任一块上的点都消灭乘积；反之 IJ ⊆ I ∩ J 给出反向包含。
- 交： V(Σ I_α) = ∩ V(I_α)，对 任意 族成立，哪怕无穷。同时施加所有方程，等同于求所有解集的交。
- 两端： V(0) = A^n（全空间），V(1) = ∅（单位理想什么都切不出——没有点能让 1 为零）。