两个运算：环
群只有一个运算。但整数有*两个*相互咬合的运算——加法与乘法——这个更丰富的环境就是[[ring|环]]。环是带两个运算的集合，其中：加法使它成为[[abelian-group|阿贝尔群]]（所以减法总能进行），乘法满足结合律，且二者由[[distributive-property|分配律]] a(b + c) = ab + ac 联系起来。整数、实系数多项式，以及 n×n 矩阵都是环。
注意普通的环*不*承诺什么。乘法不必可交换（矩阵环就不），不必有乘法单位元 1，即便有，多数元素也没有乘法逆元——在整数内你无法除以 2 而仍留在其中。环是刻意宽松的；我们通过添加条件来收紧它，每多要求一个条件，就划出一个更小、更规整的类。
收紧：整环与域
第一次细化：禁止乘法中的意外。[[integral-domain|整环]]是带 1 的交换环，其中两个非零元素之积绝不为零。最后这条规则——没有零因子——正是允许消去的根据：若 ab = ac 且 a ≠ 0，便可断定 b = c。整数是原型。模 6 的钟表环*不*是整环，因为在那里 2·3 = 0，尽管两个因子都不为 0。
第二次细化：要求除法。[[field|域]]是带 1 的交换环，其中*每个*非零元素都有乘法逆元——于是加、减、乘、除（零除外）都能自由进行。有理数、实数和复数都是域；整数不是，因为 2 没有整数逆元。每个域都是整环，但反过来不成立——整数是一个恰好差一步成为域的整环。
When is the clock Z/nZ a FIELD? Need every nonzero a to have an inverse: some b with a·b ≡ 1 (mod n). Mod 6 (n = 6, composite): 2·1=2 2·2=4 2·3=0 2·4=2 2·5=4 → 2 NEVER gives 1 also 2·3 ≡ 0 with 2,3 ≠ 0 → zero divisors so Z/6Z is NOT even an integral domain, let alone a field. Mod 5 (n = 5, prime): find each inverse 1·1 ≡ 1 so 1⁻¹ = 1 2·3 = 6 ≡ 1 so 2⁻¹ = 3 (and 3⁻¹ = 2) 4·4 = 16 ≡ 1 so 4⁻¹ = 4 every nonzero element has an inverse → Z/5Z IS a field. Rule: Z/nZ is a field exactly when n is PRIME.
比较结构：同态与同构
一旦有了许多结构，你就想比较它们。[[homomorphism|同态]]是两个结构之间保持运算的映射：对群映射，f(a ∗ b) = f(a) ∗ f(b)；对环映射，它还尊重乘法。它不必是一一的，也不必映满全部——它只是把结合的*模式*从一个世界搬进另一个世界。把每个整数送到它模 n 余数的映射就是一个环同态：先加再取余，还是先取余再加，结果都一样。
[[isomorphism|同构]]是既是同态又是完美配对的映射——一一且映满，其逆也是同态。当两个结构同构时，它们是同一个结构换了身衣裳：把一个的元素重新贴标签，就精确得到另一个。这正是凯莱定理里「（同构于）」悄悄表达的意思——那个隐藏的对称群是同构的孪生，而非字面相等。