置换就是洗牌
一个集合的置换就是它的一次重排——形式上，是从集合到自身的一一映射。设想三把标号 1、2、3 的椅子，三个人坐在上面。置换就是任何让每个人重新就座、使每把椅子仍恰好坐一人的规则。对三个对象有 3! = 6 种做法，对 n 个有 n! 种——阶乘数出它们的个数。
书写置换的一种紧凑方式是轮换记号。轮换 (1 2 3) 表示「1 到 2，2 到 3，3 回到 1」——一个单环。轮换 (1 2) 表示「交换 1 和 2，3 不动」——一个对换。任何不出现在任一轮换里的元素保持不动。什么都不做、固定每个人的置换是[[identity-element-of-a-group|单位元]]，记作 e。
复合洗牌，以及为何顺序重要
置换上的运算是复合：先做一次洗牌，再做一次。我们按从右到左阅读，即函数复合的方式——在 σ ∘ τ 中，先用 τ，再用 σ。置换的复合永远满足结合律，单位元什么都不做，每个置换都有逆元，所以 n 个对象的全体置换构成一个群。它就是[[symmetric-group|对称群]] Sₙ，有 n! 个元素。
Work in S₃ on {1,2,3}. Let σ = (1 2 3) and τ = (1 2).
Compose right-to-left: apply the right one first.
σ ∘ τ (do τ, then σ):
1 --τ--> 2 --σ--> 3 so 1 → 3
2 --τ--> 1 --σ--> 2 so 2 → 2 (fixed)
3 --τ--> 3 --σ--> 1 so 3 → 1
result: 1→3, 3→1, 2 fixed = (1 3)
τ ∘ σ (do σ, then τ):
1 --σ--> 2 --τ--> 1 so 1 → 1 (fixed)
2 --σ--> 3 --τ--> 3 so 2 → 3
3 --σ--> 1 --τ--> 2 so 3 → 2
result: 2→3, 3→2, 1 fixed = (2 3)
σ ∘ τ = (1 3) but τ ∘ σ = (2 3)
(1 3) ≠ (2 3) → composition does NOT commute.这种不对称是头条新闻。当 n ≥ 3 时，Sₙ 不是阿贝尔群——你洗牌的顺序会改变结果。这是你将遇到的最自然的非交换群，也正是第一篇里把交换律单独标为可选的原因。单个轮换的阶等于它的长度：(1 2 3) 的阶是 3（转三圈回到起点），而像 (1 2) 这样的对换阶为 2。
为何对称群居于中心
对称群不只是众多例子中的一个——它们是普适的。凯莱定理断言：*每个*有限群都是（同构于）某个对称群的一个子群。原因很直观：群的每个元素通过结合作用，不过是把群自身的元素重新洗了一遍，而一次重洗就是一个置换。所以「群」这个抽象概念与「洗牌的集合」这个具体概念，归根结底是同一个想法。