群中之群
子群是群 G 的一个子集 H，它在*同一个*运算下本身也是群。仅仅是一小堆元素还不够；H 必须自给自足——在运算下封闭、含单位元、且含其每个成员的逆元。偶整数构成整数加法群的一个子群：两个偶数相加得偶数，0 在其中，偶数的相反数也是偶数。
每个群至少有两个子群：整个群本身，以及单元素集 {e}。它们是平凡子群；有趣的子群介于其间。一种可靠的构造方法：取任意元素 a，把它的所有幂 a、a²、a³…连同 e 和逆元收集起来。这个集合记作 ⟨a⟩，永远是一个子群——由 a 生成的[[cyclic-group|循环]]子群——其大小恰好是 a 的阶。
拉格朗日定理
回报来了。群中元素的个数是它的阶，记作 |G|。[[lagranges-theorem|拉格朗日定理]]说：若 H 是有限群 G 的子群，则 |H| [[divisibility|整除]] |G|。阶为 12 的群只可能有阶为 1、2、3、4、6 或 12 的子群——绝不会有 5、绝不会有 7。被禁止的大小是绝对被禁止的。
证明背后的想法很优雅。取一个子群 H，挑某个元素 g，构造集合 gH = { g ∗ h : h 属于 H }，从而把 H 在群里「滑动」一圈。这些滑动后的副本叫陪集。两个事实包办了全部工作：每个陪集恰有 |H| 个元素（滑动不会缩小或拉伸），且任意两个陪集要么完全相同、要么完全不相交。于是这些陪集把 G 铺成大小相等、互不重叠的块——而若能把大小为 |G| 的集合切成大小为 |H| 的块，则 |H| 必整除 |G|。
G = (Z/6Z, ⊕), |G| = 6, identity 0
Subgroup H = {0, 2, 4} (the multiples of 2 mod 6), |H| = 3.
Check H is a subgroup: closed? 2⊕2=4 ✓ 2⊕4=0 ✓ 4⊕4=2 ✓
identity 0 ∈ H ✓ inverses: 2↔4, 0↔0 ✓
Cosets of H (slide H by each g = g ⊕ H):
0 ⊕ H = {0,2,4} }
2 ⊕ H = {2,4,0} } all equal to H itself
4 ⊕ H = {4,0,2} }
1 ⊕ H = {1,3,5} }
3 ⊕ H = {3,5,1} } all equal to {1,3,5}
5 ⊕ H = {5,1,3} }
Exactly TWO distinct cosets: {0,2,4} and {1,3,5}.
They tile G: 2 cosets × 3 elements each = 6 = |G|.
So |H| = 3 divides |G| = 6, with index 2. ✓ Lagrange值得记住的推论
拉格朗日立刻带来红利。由于 ⟨a⟩ 是大小等于 a 的阶的子群，所以每个元素的阶都整除 |G|——正是你在模 6 表里看到的规律，其中每个阶都是 1、2、3 或 6。两条干净的推论随之而来：
- 若 |G| 是素数 p，唯一可能的子群阶是 1 和 p，所以任何非单位元都生成整个群：每个素数阶的群都是[[cyclic-group|循环的]]。
- 把 a 与自身结合 |G| 次总是回到单位元：对每个 a 有 a^|G| = e，因为 a 的阶整除 |G|。