干净地陈述定义
群是一个集合 G 连同一个满足四条群公理的二元运算 ∗。这就是全部定义——不需要数，不需要几何，只要一个集合和一种良好的成员结合方式。这四条公理就是上一篇里的四条规则，如今被提升为*要求*。
- 封闭性：对 G 中所有 a、b，结果 a ∗ b 落在 G 中。
- 结合律：对 G 中所有 a、b、c，(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。
- [[identity-element-of-a-group|单位元]]：G 中存在 e，使每个 a 满足 e ∗ a = a ∗ e = a。
- [[inverse-element|逆元]]：对 G 中每个 a，存在 a⁻¹ 属于 G，使 a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e。
阿贝尔与循环：两个友善的家族
如果运算还可交换——对所有 a、b 有 a ∗ b = b ∗ a——这个群就是[[abelian-group|阿贝尔群]]，得名于尼尔斯·亨利克·阿贝尔。加法下的整数是阿贝尔的；模 n 加法也是。许多重要的群*不是*阿贝尔的，例如三角形的对称，其中操作的顺序会改变结果。
如果单个元素能生成整个群，这个群就是[[cyclic-group|循环群]]：把一个选定的元素反复与自身结合，最终产生*每一个*成员。模 4 加法是循环的，因为 1 生成它——1、1⊕1=2、1⊕1⊕1=3，然后回到 0。每个循环群都自动是阿贝尔的（反复用一个元素不会引入任何顺序冲突），但反过来不成立：并非每个阿贝尔群都是循环的。
元素的阶
选一个元素，不断把它与自身结合。在有限群中你最终必定回到单位元。所需的步数就是[[order-of-an-element|元素的阶]]——使 aᵏ = e 成立的最小正整数 k（这里 aᵏ 表示 a 与自身结合 k 次）。单位元的阶永远是 1。算几个阶就能看出群形状的许多信息。
Orders in (Z/6Z, ⊕), addition mod 6, identity e = 0 Here a^k means k copies of a added: a^k = (k·a) mod 6. element 1: 1, 2, 3, 4, 5, 0 → first hits 0 at k=6 order 6 element 2: 2, 4, 0 → first hits 0 at k=3 order 3 element 3: 3, 0 → first hits 0 at k=2 order 2 element 4: 4, 2, 0 (4,8mod6=2,12mod6=0) → k=3 order 3 element 5: 5,4,3,2,1,0 → k=6 order 6 element 0: already e order 1 Notice: every order (1,2,3,6) divides the group size 6. Also: elements 1 and 5 each have order 6 = |G|, so each one generates the whole group — it is CYCLIC.