一个新问题
多年来，代数意味着求出一个数。你把变量孤立出来，验证方程的解，然后继续。抽象代数问的是不同的东西：忘掉任何单个答案——游戏的规则是什么？取一组对象，以及把任意两个结合成第三个的方法。单独研究这种结合，你会发现迥然不同的世界——加法下的整数、三角形的对称、钟表算术——竟共享同一副隐藏的骨架。
起点对象是二元运算。它从一个集合取两个输入，返回一个输出——始终落在同一集合内。普通加法在整数上就是如此：输入 3 和 5，返回 8，仍是整数。乘法也是。「把正方形的这两个旋转合起来」也是。二元一词只表示「两个输入」；奥妙在于这个运算恰好遵守哪些规则。
运算可能遵守的四条规则
一旦有了封闭的运算，就开始审问它。四条性质反复出现，你在算术里已经认识它们——抽象代数只是把边缘磨得更利。
- 封闭性：对集合中所有 a、b，a ∗ b 也在集合中。无法逃出。
- [[associative-property|结合律]]：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。分组不改变结果，所以可以去掉括号。
- [[identity-element|单位元]]：存在元素 e，使每个 a 都满足 a ∗ e = e ∗ a = a。它让一切保持不变——加法是 0，乘法是 1。
- 逆元：对每个 a，存在一个与它结合得到单位元的元素——它的逆操作。
第五条性质，[[commutative-property|交换律]]（a ∗ b = b ∗ a），是可选的，而且常常不成立：先穿袜子再穿鞋，与先穿鞋再穿袜子并不相同。当一个运算遵守前四条规则时，我们离群只差一步；它是否也可交换，决定了这个群是否为「阿贝尔的」。注意我们从未指明 a 和 b *是什么*。它们可以是数、运动或矩阵。这种刻意的含糊正是关键——只从规则出发证明的事，在每一个遵守这些规则的世界里都成立。
读懂运算表
当集合很小时，你可以把整个运算写成一张表——每一对输入、每一个输出，一次呈现。下面是模 4 余数「钟表」上的加法，记作 a ⊕ b = (a + b) mod 4。第 a 行第 b 列的格子放的是 a ⊕ b。
Addition mod 4 on the set {0, 1, 2, 3}
⊕ | 0 1 2 3
---+------------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2
Read it: 2 ⊕ 3 = (2+3) mod 4 = 5 mod 4 = 1.
Checks you can see at a glance:
closure — every entry is a 0,1,2,3 ✓
identity — row 0 and column 0 copy the headers, so 0 is the identity ✓
inverses — a 0 appears in every row, so each element has an inverse
0↔0, 1↔3, 2↔2, 3↔1 ✓
symmetric across the diagonal — the table is mirror-symmetric, so ⊕ commutes ✓