链梯法在哪里崴了脚
在上一篇里，你看到链梯法如何取一张损失流量三角形，把每个事故年度乘上一串发展因子，一路推到它的终极值。它优雅，对成熟年度也运作得很漂亮。但请留意它究竟在*做*什么：它拿一个年度迄今报告的任何数字，然后把它放大。报告数字就是全部的地基；那些因子，只不过把它放大而已。
对一个崭新的事故年度，这就危险了。假设某年度才三个月大，进来了一笔大额理赔。它的发展因子也许是 8.0——意思是最终损失里有八成九还没浮现。链梯法会把这一笔早到的理赔乘以 8.0，再把答案当成终极值。一笔倒霉的理赔，或一个安静的季度，估计值就剧烈摆荡。让链梯法对老年度强而有力的那份杠杆，对稚嫩年度却变成了歇斯底里。
从定价告诉你的那个数字出发：期望损失率
先从糅合家族里最简单的那位说起——期望损失率法（ELR）。这个想法直率得近乎粗鲁：完全无视该年度报告的损失，单凭保费就估出它的终极值。你拿该年度的已赚保费，乘以一个你事先就期望的损失率——也就是先验损失率——通常就是烘焙进费率里的那个准许损失率。
所以，若某年度赚得 1,000 万保费，而你的定价假设了 65% 的损失率，那么你对终极损失的估计就干脆是 650 万——无论三角形迄今怎么说。这稳定得令人欣喜：一笔怪异的理赔撼动不了它，因为那笔理赔根本不在公式里。但这份稳定也正是它的罪。ELR 法对经验*完全充耳不闻*。哪怕这一年明摆着正酿成一场灾难、损失早已远超计划地倾泻而入，纯粹的 ELR 法照样耸耸肩，仍说 650 万。它绝对地信任先验，对数据则一点也不信。
于是我们有了两个针锋相对的极端。链梯法只信数据、别无其他；ELR 法只信先验、别无其他。对一个半大不小的年度，二者都不对——这种年度里，你的数据确实带着*一些*信号，却又不足以单凭它就托付。诚实的答案，必定落在两者之间的某处——而找到那个中点，正是 Bornhuetter-Ferguson 的主意。
Bornhuetter-Ferguson：已浮现的就信，剩下的才预测
Bornhuetter-Ferguson 法（BF 法）做了一个美妙而简单的动作。它把一个年度的终极损失劈成两块——*已经浮现*的，与*尚未到来*的——再用各自配得上的工具去对待每一块。对已经报告的损失，它干脆把它当事实接受：它们发生了，你看得见，不需要估计。至于*尚未*报告的损失，它不从单薄的数据外推；而是从先验期望去预测它们。
「尚未到来」有多少？这就轮到发展模式登场了，但是反过来用。如果链梯法说某年度发展到了 1/8——它到终极的发展因子是 8.0——那么有 1/8 的损失已报告，剩下的 7/8 还在未来。于是 BF 法说：终极 =（迄今已报告的损失）+（先验期望损失）×（仍未报告的那 7/8）。已报告的那部分径直来自数据；未报告的那部分则由定价填补，再乘以恰好仍未走完的那段发展比例。
Green year: earned premium = 10,000,000
a-priori loss ratio = 65% -> expected ult = 6,500,000
reported losses so far = 900,000
chain-ladder dev factor = 8.0 -> % developed = 1/8 = 12.5%
% UNreported = 7/8 = 87.5%
Chain ladder ult = 900,000 * 8.0 = 7,200,000 (volatile!)
ELR ult = 6,500,000 = 6,500,000 (deaf)
BF ult = 900,000 + 6,500,000 * 0.875 = 6,587,500 (blend)
BF reserve (IBNR) = 6,500,000 * 0.875 = 5,687,500请留意，在一个年度生命的两端，公式会自动吐出什么。当一个年度崭新、本质上发展到 0% 时，未报告比例约为 100%，已报告损失微乎其微，BF 法几乎正好落在 ELR 的答案上。当一个年度完全成熟、发展到 100% 时，未报告比例为 0，先验那一项消失，BF 法正好落在实际报告的损失上——那也正是链梯法落脚之处。BF 法是一座*以可信度加权的桥*：数据少时它倚靠先验，随着年度成熟，又平滑地滑向数据。
为什么它稳得多
稳定来自杠杆所在之处。在链梯法里，你那一个观测数字被乘以一个大因子，于是那数字的任何抖动都被*放大*。在 BF 法里，答案的大块——未报告那部分——被钉在先验上，它压根不随这一年的噪声而动。只有那一小块、已经浮现的部分会响应数据，而且是一对一地响应，不被放大。答案中暴露于易变的早期信号之下的部分更少，因此从一次评估到下一次，答案守得更稳。
有一种干净的说法。链梯法把*未报告*的损失估计成（已报告损失的）某个倍数；BF 法则从先验去估计未报告的损失。于是有一条好用的经验法则：对数据丰富、值得信赖的、陈年已结的年度，用链梯法；对数据太单薄、做不了主的最新一两个年度，用 BF 法。许多准备金评估正是这么做——三角形底部用链梯法，顶部沿用 BF 法，有时还逐年地把两者糅合起来。
Cape Cod 法：让数据自己挑选先验
BF 法有一处软肋：那个先验损失率从哪儿来？在纯粹的方法里，是你凭判断把它递进去的——通常就是定价假设。但万一定价本身就错了，而且在每个年度上错得一个样呢？那么 BF 法会忠实地把这个误差带进每一笔准备金里。Cape Cod 法（又称 Stanard-Bühlmann 法）修补了这一点：它*从三角形本身去估计先验损失率*，而不是从外头进口它。
这个手法很温和。它不是拿每个年度报告的损失去比它的全额保费——那并不公平，因为年轻年度只报告了一丝半缕——Cape Cod 法拿所有年度报告损失的总和，去比那笔*已用尽*的保费：每个年度的已赚保费，按它发展了多少而相应缩减。一个只发展到 1/8 的年度，只把它保费的 1/8 计入分母，于是它的权重恰好匹配你实际能看见多少损失。算出来的那个比率，就是一个由数据导出的、糅合后的先验损失率，你再把它喂进 BF 的机器里。
所以你可以把这一家子想象成同一个旋钮。把它一路拧到「信先验」，你得到 ELR 法；一路拧到「信数据」，你得到链梯法。BF 法坐在中间，按成熟度加权。Cape Cod 法则是先验本身改由汇集的经验学来、而非断言而来的 BF 法。它们没有哪一个是「真实」的准备金——它们是对同一团迷雾的四种诚实读数，而一位好的准备金精算师，会在敲定一个数字之前把它们全都端详一遍。
诚实的边界
BF 法更稳，却非无所不知。它仍向链梯法借来那个*发展模式*——每个发展龄上已报告的比例——所以若那个模式错了（业务结案比历史更快或更慢），BF 法在如何切分已报告与未报告时，便会承袭这个误差。它只为你挡掉报告数字上的那份杠杆，却挡不住一条估错了的发展曲线，也挡不住一个取得太短的尾部因子。
还有一种真切的风险：双重的安慰。如果你的先验损失率，来自那份骨子里也倚靠着同一张老三角形的定价研究，那么 BF 法那个「独立的先验」便没那么独立了——你也许只是在跟自己点头称是。要提防这一点：先验应当反映真正外部的信息（费率变动、风险敞口趋势、统一费率水平的调整），而不该是它本应去平衡的那些数据的一记轻声回响。还有，一如准备金评估中的常态，这些方法里的每一个，给出的都只是一个*点估计*。围绕它的真实不确定性——一笔真实准备金可能合理落入的那个区间——正是下一篇关于随机准备金法要谈的题目。