两台一直各自运转的引擎
到目前为止，这道阶梯造出了两台机器，却一直把它们关在不同的房间里。利息那一阶教会你把钱在时间里搬动：一笔许诺在 n 年后到手的钱，比今天的同一笔钱要少值一些，于是你用反复算过无数遍的现值把它贴现回来。概率与死亡率那几阶则教会你另一项本领：当结果不确定时，你按每种可能性发生的概率给它加权、再加总——这正是期望这个概念的*本义*。两台引擎都很可靠，只是从来没有被同时开动过。
寿险逼着这两台引擎合体，因为一份与生命相依的承诺，是*同时*带着这两个难题来的。来看一份最干净不过的合约：在某位 40 岁者去世的那一年年末，赔付 100,000 元。这笔钱什么时候会从保险公司流出？没人知道——它取决于此人的未来寿命，而那是一个随机变量。而无论它何时流出，都必须被贴现，因为承诺一笔十年后才付的钱，要比承诺一笔明年就付的便宜。于是这份承诺的价值，在*时点*上是不确定的，又因*距离*而被打了折扣。单凭任何一台引擎，都没法给它定价。
整个寿险精算（生命相依）这门学问，干的就是这一件事：把两台引擎同时开在同一条现金流上。按每一笔可能的付款的时点把它贴现；再按它真正发生的概率给它加权；然后把这一切加起来。这个二合一的单一数字，正是整道阶梯的拱心石——它有一个名字。
用大白话说清精算现值
一笔未来付款的精算现值（actuarial present value，简称 APV，也叫*期望现值*），就是它按时间贴现后的现值，再乘以这笔付款真正被支付的概率。如果一笔付款是确定的，那个概率就是 1，于是 APV 不过是你早已熟知的普通现值。可一旦付款变得不确定，你就要按它的概率把它削减下去。所以 APV 并不是在旧观念之上硬装的新东西；它就是那个老现值，只不过在贴现因子的身旁，又多骑了一个概率因子。
这个概率从哪来？径直来自上一阶的死亡率机器。我们这位 40 岁者在 t 年后仍然在世的概率，是从生存函数（或等价地从生命表）里读出来的；他在某个特定的未来年份去世的概率，则是两个生存概率之差。于是，一份只在死亡时赔付的给付，就用死亡概率来加权；而一份只在存活时给付的给付，就用生存概率来加权。是现金流告诉你该去取*哪一组*概率；而生存模型把它们递到你手上。
一个小小的实例：三年期纯生存保险
我们拿现成最简单的那份与生命相依的合约，把 APV 说得具体些：纯生存保险（纯粹养老金）。它恰好在 3 年后赔付 1,000 元，但*只有当*保单持有人那时仍然在世才赔；如果他先去世了，就一分钱都不赔。这里只有一笔付款、落在唯一一个固定的日期——所以这里时点并不随机——但它是否发生，*是*随机的。假设有效年利率为 5%，而从生命表查得我们这位被保险人熬过全部 3 年的概率为 0.94。来看这两台引擎如何合体。
Contract: pay 1,000 in 3 years IF alive, else 0
i = 5% -> 3-year discount factor v^3 = 1/1.05^3 = 0.863838
3-year survival probability 3_p_40 = 0.94 (from the life table)
Step 1 ordinary present value (if it were certain):
1,000 * 0.863838 = 863.84
Step 2 weight by probability it actually pays:
863.84 * 0.94 = 812.01 <- actuarial present value
Contrast:
certain 3-yr payment of 1,000 PV = 863.84
life-contingent same payment APV = 812.01 (lower, by the 0.94)
expected dollars paid, ignoring time = 1,000 * 0.94 = 940.00 (too high)请狠狠盯住最下面那两组对照，因为它们钉死了 APV 究竟是什么。它*低于*那个 863.84 元的素现值——0.94 的生存概率削掉了钱可能永远不被赔付的那一份可能。它也*低于*那个 940 元的天真期望赔付——贴现因子削掉了时间价值。少了任何一台引擎，你都会得到一个偏高的错误数字。812.01 元这个 APV，是唯一一个同时尊重了两条真相的数字：这笔付款是不确定的，而且它在未来。
对价原则：定出一份公平的保费
现在，把这份合约掉转过来看。保险公司的*给付*——它将来某天可能赔出去的钱——是一条与生命相依的现金流，所以它有一个 APV。可是保单持有人的*保费*同样是一条与生命相依的现金流：那是一笔定期缴纳的款项，会在此人去世的那一刻戛然而止，因为你不会再为一份已经理赔过的保单继续缴费。保费，也有它的精算现值。于是，现在有两个 APV 隔着这份合约面对面：保险公司预期要付出的，和保单持有人预期要付出的。
对价原则（equivalence principle，又译均衡原则）就是那条用来定保费的规则：把保费定成这样——在保单签发的那一刻，所有保费的精算现值，*恰好等于*所有给付的精算现值。两边谁也不占便宜；在*期望*意义上、并且经过贴现之后，这两份承诺值得分文不差。你其实早在利息那一阶就以另一副面孔见过这个想法了——它就是那道让流入与流出相平衡的价值方程——只不过现在两边都背上了生存与死亡的概率，而不只是贴现因子。
- 写出给付的 APV——把每一笔可能的赔付，按其时点贴现、再按其发生的概率加权。
- 写出每年缴 1 元保费时的保费 APV——把这一串保费付款，逐笔贴现、再按保单持有人在那个时点仍然在世（因而仍在缴费）的概率加权。
- 令两者相等，解出：保费 = （给付的 APV）/（每年 1 元保费流的 APV）。你解出来的这个数，就是净（给付）保费。
从这道除法里得出的保费，就是净保费（当它年年相等时，常称作*均衡净保费*）。“净”是个诚实的字眼：它只覆盖给付、别无其他——不含薪水、不含佣金、不含利润空间。那些真实世界里的附加（loading），要等你从净保费走到真正客户缴纳的毛保费时才会加上去。对价原则给你的是那块作为基岩的公平价格；商业再在它之上往高处盖。
这条原则悄悄做出的假设
对价原则之所以强大，恰恰因为它对*期望*这件事是诚实的——而诚实，就意味着要老实承认它略去了什么。“在期望意义上相等”，并不意味着对任何单独一位保单持有人都相等。那位在第二年就去世的人，拿到的远多于他所缴；那位活到九十岁的人，缴出的则远多于他所领。这本账，只在*整个风险池的平均意义上*才平得起来——这也正是为什么保险只有作为你在本阶最开头就遇到的那种风险分摊活动，才行得通。APV 是关于人群的陈述，从来不是对你个人的承诺。
还有最后一点诚实话，因为它能让你在后面那几篇关于责任准备金的指南里少绕弯子。对价原则让两边相平衡，*只发生在签发当时*、在时刻零这一点上。保单一旦生效，这份平衡就开始漂移：给付变得越来越近、也越来越可能发生，而尚待收取的保费却越来越少。未来给付的 APV 与未来保费的 APV 之间这道日益拉开的缺口，正是一份保单准备金所必须持有的东西——但那是下一个观念了，而它，正稳稳地立在这一个观念之上。
你要带走的东西
你现在已经握住了寿险精算的拱心石。精算现值绝不比这更玄：它就是你那个老现值，在贴现因子旁边多骑了一个概率因子——为时点贴现，为概率削减，再统统加起来。对价原则拿起这一件工具，朝两个方向各指一次：给给付估值，给保费估值，让它们在签发时相等，一份公平的净保费便随之落地。本阶其余的一切——终身寿险、定期寿险、两全保险、为它们筹资的保费、为它们兜底的准备金——都是这同一个动作，被施加到越来越丰富的现金流上罢了。
如果你只从本篇记住一句话，就让它是这句：精算现值，是金钱跨越时间的一个诚实的期望值；而对价原则，是要求两个这样诚实的值相平衡。把这个观念稳稳攥住，符号就再也吓不倒你了——当后面几篇引入那些紧凑的与生命相依的估值符号时，你会认出它们每一个，都只是你如今已亲手做过的“贴现—加权—求和”循环的一个利落封装。符号是简写；意义，是你的。