两台引擎，终于拧到了一起
你带着两件已经磨利的工具来到这一篇。从利息那一阶起，你已能把任意一条固定的、有保证的付款流压缩成一个数字——那就是确定年金，纯属利息，不掷骰子。从生存那一阶起，你已能读出一位现年 x 岁的人活到未来任意年龄的概率——那就是从生命表里读出来的生存函数。把这两台引擎拧到一起，你得到的就是生命年金：一条*只在年金领取人存活期间*才持续的付款流，他一咽气，付款就戛然而止。
这确实是一种全新的承诺，值得停下来想一想其中的缘由。确定年金承诺的，比方说是二十笔付款——而这二十笔你都会收到，无论你死活，因为即便人不在了，它们也会归入你的遗产。生命年金承诺的却是：*只有当你今年还在，才付你这一笔*。没人能事先知道实际究竟会付出多少笔；这个笔数本身就是一个随机变量，由未来寿命的分布所支配。所以我们不能简单地把付款相加，而必须给每一笔未来付款，都乘上它「最终真被付出」的那个概率作为权重。
最小单元：纯生存给付就是一笔按存活加权的付款
整篇指南就悬在这一个念头上，而它很小。设想*仅仅一笔*未来付款：在第 k 年年末付 1 元，但前提是我们这位今天 x 岁的人，到那时还活着。它今天值多少？要让这 1 元到账，必须同时发生两件事，所以我们把两个因子相乘。第一，为了货币的时间价值，把这 1 元贴现回 k 年前：这正是你从利息阶起就一直在用的「v 的 k 次方」贴现因子。第二，给它乘上这个人真的熬过这 k 年、活着来领的概率作为权重，这个概率你直接从生存曲线上读出来即可。贴现因子乘以存活概率，你就得到了这一笔「视存活而定」的 1 元的价值。这个东西有个名字：纯生存给付（纯粹生存年金）。
现在说到点子上，而这正是为每一份生命年金估值的核心：生命年金*无非就是一堆纯生存给付的总和*，每一个未来付款日对应一份。一份终身年金，就是「1 年后到期的 1 元纯生存给付」，加上「2 年后到期的 1 元纯生存给付」，再加上「3 年后到期的那一份」，如此一直加下去——只要这个人理论上还可能活到的每一年，都加上一份。每一项都是它自己那个「贴现 × 存活」的小乘积；年金的精算现值，不过就是把它们全部加总。你已经会给一份纯生存给付估值了——所以你其实已经会给一份生命年金估值了。你只是把同一件事做许多遍，然后相加。
ONE pure endowment, $1 at the end of year k, life aged x:
value = (discount k years) x (prob. survive k years)
= v^k x k_p_x
WHOLE LIFE annuity = sum of pure endowments, one per future year.
Annuity-DUE (pay $1 at the START of each year you are alive):
adot_x = 1 + v*p_x + v^2*(2_p_x) + v^3*(3_p_x) + ...
^the first $1 is paid NOW, while certainly alive (prob 1)
Annuity-IMMEDIATE (pay $1 at the END of each year survived):
a_x = v*p_x + v^2*(2_p_x) + v^3*(3_p_x) + ...
The ONLY difference: adot_x has the leading 1, a_x does not:
adot_x = 1 + a_x期初还是期末——这回挂上了一条生命
你在确定年金那里见过的「期末还是期初」之分，在这里又回来了，但带着一个值得细品的转折。终身期初年金，记作 a-double-dot-x、读作「a-double-dot 下标 x」，在年金领取人存活的每一年的*期初*付 1 元——而且从现在、从 x 岁这一刻就开始付。最开头那一笔尤其特别：它今天就发生，而此刻这个人*必定*还活着，所以它根本不用贴现、也不用加权，就直接算作 1。其后的每一笔，才是一份份正经的纯生存给付，要贴现、要按存活加权。这正是为什么寿险数学压倒性地偏爱期初年金这种形式：养老金、保费与给付，几乎总是按每一年的期初来计算的。
终身期末年金，记作 a-x，在每一个被熬过的年份的*期末*付 1 元，因此它没有「今天就付」那一项。这一回，两者之间的关系比确定年金时还要更利落。在确定年金里，我们靠乘以 (1 + i) 来把整条流平移一期；而在这里，两条流*完全相同*，唯一的区别是期初那一版多带了一笔付款——也就是今天那笔确定的 1 元。于是 a-double-dot-x 就干脆等于 1 加上 a-x。求出其中一个，只需加上或减去一块钱，另一个就到手了。
三种口味：终身、定期、递延
握住了这个最小单元，三种标准的生命年金，就只是对「该把*哪些*纯生存给付纳入求和」做出的三种不同选择。终身年金（a-double-dot-x）把从现在起、直到生命表所允许的最高年龄之间的每一年都纳进来——它终身派付，无论这「终身」最后有多长。定期（限期）生命年金（记作 n 年期的 a-double-dot-x）最多付 n 笔就停：你每一年能领，前提是你既还活着、*又*仍处在最初的 n 年之内。它是那种「比方说一直派付到 65 岁、然后就停」之收入的天然模型。
第三种口味是递延生命年金：它在最初的 m 年里一分不付，然后从 x+m 岁起才变成一份普通的生命年金。这正是一位 35 岁的人会购买的退休产品——现在缴费，从 65 岁起领取一份终身收入，但前提是你得活到那一天。给它估值不需要任何新机器：它无非就是「终身年金减去递延那几年的定期年金」，或者等价地，是「熬过整段递延期的一份纯生存给付」乘以「一份从那时才起付的年金」。还要留意，这三者并不彼此独立——一份定期年金加上与之相配的递延年金，会重新拼回那份终身年金，因为它们合起来，恰好把未来的每一年都不重不漏地覆盖了一遍。
- 选定合同实际覆盖的那些付款日期——是未来的每一年（终身）、只有最初的 n 年（定期）、还是只有第 m 年之后（递延）。
- 对每一个这样的日期，写下一份纯生存给付：贴现因子乘以「从 x 岁活到该日期」的概率。
- 把它们全部加起来。这个唯一的总和，就是精算现值——这份年金今天的公允期望成本。
- 如果付款在每年的期初，你得到的就是期初年金；如果在期末，去掉开头那笔 1 元，就得到期末年金。
对数字找一点小小的手感
我们用一个刻意做得很小的例子把它落到实处，好让机制显露出来。设想一位年金领取人，他最多也就还可能再活三年，其存活概率（从生命表读出）为：活到第 1 年末 0.95、活到第 2 年末 0.88、活到第 3 年末 0.70，利率为 5%。一份终身期初年金，现在先付 1 元（确定），其后在每个后续年份的期初，*若还活着*再各付 1 元。开头那 1 元不贴现、不加权。下一笔的价值，是「一年的贴现」乘以「活满一年的概率」，依此类推。把它们加起来，大约是 1 + 0.905 + 0.798 + 0.605——约合 3.31 元，而不是粗心人从「四笔可能的付款」里想当然得出的那个天真的 4 元。
有两股力量把每一项都拽到 1 元以下，而这个例子把两者一并展示了出来。单是贴现，就会让未来的一块钱缩水（也就是你早已熟知的货币时间价值）；存活加权再让它缩一次，因为这一块钱也许根本就不会被付出。两者合起来，便解释了为何「一辈子每年 1 元」的付款，今天也只值寥寥几元，也解释了为何这个数字会随着年金领取人年龄渐长（前头剩下的存活越来越少）或利率上升（贴现更狠）而下降。要把它变成一件真实的产品，保险公司会运用对价原则（等价原则）：它收取的趸缴保费，被设定为恰好等于 APV，如此一来，在整个池子上平均而言，收来的保费刚好覆盖付出去的年金。
诚实的边界，以及接下来是什么
三句诚实的提醒，能让你不至于过度信任这些干净的数字。其一，那些存活概率并不是事实——它们出自一张死亡率表，而这张表本身就是一个估计，由过去的数据搭成，并注定会随着人们越活越长而漂移。年金保险公司的噩梦，恰恰就是这种漂移：万一年金领取人活得比表里假定的更久，那么每一个 APV 都偏低了，年金也就定价过低了。其二，利息那一阶的「单一利率」假设在这里依然在场；严肃的工作会用收益率曲线、而非一个冻结的利率来贴现。其三，APV 是一个*平均值*——它告诉你的是一大群人池子的公允价格，绝不是某一个人实际会领到多少。
实务中，人们很少真去手工重新加总成百上千份纯生存给付。你很快会遇到的两个捷径，能让这套记账活儿凭空消失。递推关系让你用一步运算，就从明年的年金价值搭出今年的，沿着生命表逆向往回走。而精算师会预先算好一些精巧的累计量，称作换算函数（计算函数），于是一份终身或定期年金，就化成了两个查表值的一个简单比值。两者都纯粹是为了效率——它们丝毫不改变其中的含义。你真正必须握牢的，是本篇中段那个念头：生命年金是一摞纯生存给付，其中每一份，都是一块被缩了两次水的未来的钱——一次为时间，一次为「能活着来领」的概率。