贷款不过是换了顶帽子的年金
本篇里最难的那个想法，你其实已经见过了——只不过是从另一面见到的。上一篇里，期末年金是一连串你*收取*的等额付款；而一笔等额贷款正是这同一连串付款，只不过现在变成你来*支付*、放贷人来收取。把座位掉个方向，数学完全相同。这就是让贷款忽然变得简单的那个静悄悄的秘密：关于这些现金流，没有任何新东西要学，只是要对它们提出一个新问题。
那么，怎样的还款方案才算公平？支配本阶每一笔交易的，是同一个原则：价值方程。放贷人今天交给你的钱，必须等于你承诺偿还的一切的现值。对一笔以每期利率 i、用 n 次等额付款偿还的等额贷款 L 而言，这一个方程说：L 等于付款额乘以年金因子 a‑angle‑n。移项后，付款额不过是 L 除以 a‑angle‑n——把贷款金额切成一道现金流，其今天的价值恰好等于贷款，不多也不少。
每一笔付款究竟去了哪里
下面这个问题，几乎绊倒了每一位头一回借钱的人。你三十年里每月偿还相同的金额——那么每笔付款想必都削去相等的一块债务吧？差得远呢。每一笔付款都被悄悄分成两部分，而它们的比例会随着年月推移而此消彼长。规则美妙地简单：利息总是按你当前所欠的金额来收取，付款在扣去这笔利息之后剩下的部分，则用于减少本金。
顺着走一遍。一开始你欠着全额贷款，所以利息那一块很大，你的付款里只有一丝丝触及本金。可这一丝丝确实让余额变小了——于是下一期的利息便按一个略小的数来计算，让那笔固定付款中略多一点去攻打本金。因此本金部分*每期增长*，并随着余额下降而加速，与此同时利息部分则相应缩小。总付款从不改变，改变的只是它内部的拆分。到最后一笔付款时，剩下的本金恰好等于余额，债务稳稳落在零。
Loan 10,000 at i = 6% per year, 5 equal annual payments. Payment = 10,000 / a-angle-5 (at 6%) = 10,000 / 4.21236 = 2,373.96 Yr | Balance start | Payment | Interest (6%) | Principal | Balance end 1 | 10,000.00 | 2,373.96 | 600.00 | 1,773.96 | 8,226.04 2 | 8,226.04 | 2,373.96 | 493.56 | 1,880.40 | 6,345.64 3 | 6,345.64 | 2,373.96 | 380.74 | 1,993.22 | 4,352.42 4 | 4,352.42 | 2,373.96 | 261.15 | 2,112.81 | 2,239.61 5 | 2,239.61 | 2,373.96 | 134.38 | 2,239.58 | 0.03* *rounding; the exact schedule lands on 0.
未偿余额：你今天还欠多少
在贷款进行到一半时把时钟停下，问一个最实际的问题：如果我今天想清掉这笔债，得开出多大金额的支票？这个数字就是未偿余额，计算它有两种诚实的办法，而它们必须永远一致。*前瞻*法向前看：余额等于你*尚未支付*的那些付款的现值——又一次正是放贷人那笔年金的想法，只是用于一个更短的剩余期限。*追溯*法向后看：把原始贷款连本带息向前积累，再减去你*已经支付*的那些付款，每一笔同样连本带息地向前积累。
两条路抵达同一个数字，因为它们是同一个价值方程的两扇窗。在上面那张表里，第三笔付款之后，前瞻余额是把两笔 2,373.96 贴现回来，即 4,352.42——恰好等于那一行所示的余额。这种相等不只是一个利落的核对；它也是摊还表永不漂移的原因。它还点明了一条值得随身携带的微妙警告：余额*并不是*贷款减去你已付款项的简单加总。那种天真的相减忽略了那些过去付款本可赚到的利息，它总会低估你仍欠的金额。
另一条路：偿债基金法
摊还并不是清偿一笔债务唯一诚实的办法。偿债基金法采取一种全然不同的姿态：让原始贷款始终保持全额、纹丝不动，转而另外攒起一个储蓄罐——也就是偿债基金——让它在到期日恰好增长到贷款金额，届时你一次性结清整笔债务。于是借款人每期做两件事。第一，向放贷人支付*整笔*原始贷款的利息；由于本金从不下降，这笔利息每一期都相同。第二，向偿债基金存入一笔固定金额。
那笔存款该有多大？基金本身就是一笔年金——一系列等额存款，必须在 n 时刻积累到贷款金额 L——所以存款额是 L 除以积累因子 s‑angle‑n，且按*基金自身*的增长利率计算。而这短短一句话，正是全部要害所在。关键的转折在于：偿债基金赚取的利率可能与贷款收取的利率*不同*。倘若基金恰好赚到贷款利率，偿债基金法的成本就与摊还分毫不差地相同——它们暗地里本是同一笔交易。但若基金赚的利率低于贷款（这是常见情形，因为安全的储蓄通常比贷款收取的利率付得少），借款人就必须存得更多才能达到目标，于是偿债基金法结果更贵。
有一处概念上的微妙之处值得钉牢。在摊还下，你所欠的余额确实每期下降。在偿债基金法下，*债务*却顽固地始终停在全额面值——下降的是借款人的*净*头寸，也就是贷款减去那个稳步增长的基金。两者在经济上可比，但在记账上并不相同，精算师会小心地绝不把基金的余额与债务本身的减少混为一谈。企业历史上曾用偿债基金来赎回债券发行，而只要有一笔整额债务必须在某个固定的未来日期偿付，这种方法就依然存活。
为何这正是通往房贷与债券的门
本篇里的一切，在你望向世界上两件最庞大的金融工具时立刻派上用场。一笔房贷，不过是一笔在许多年里摊还的等额贷款，通常采用按月可换算的名义利率——以名义 6%、按月复利（每月 0.5%）在 360 个月里借入 200,000，月供就是 200,000 除以 a‑angle‑360，约每月 1,199。此处每一个摊还的想法都原封不动地适用：早期付款几乎全是利息，未偿余额是剩余部分的现值，而提前偿还会省下不成比例的利息。
债券把这幅图翻了个里朝外：现在*你*是放贷人。你今天付出一个价格，换来一连串等额票息，外加到期时按面值赎回的一笔款项——从发行人那一侧看，这在结构上正是一笔偿债基金式的贷款，票息扮演利息付款的角色，面值则是末了所欠的那一整笔。债券的价格不过是那些票息与那笔赎回的现值，而使该现值等于你所付价格的那个常数利率，就是它的收益率——到期收益率，一个内部收益率。同样那个价值方程，只是从买方而非借款人那一侧来读。
在你继续之前，有一条诚实的提醒。那条干净的付款公式假定了一个单一、固定、如实报出的利率——而真实世界要凌乱得多。宣传的贷款利率可能藏着费用，而按月复利的名义利率的成本高于它表面所示；要找出一笔贷款的真实成本，唯一可信的办法是写出包含每一项费用的完整价值方程，而不是相信海报上的那个数字。这份谦逊正是利息理论的全部精神：公式是精确的，但它们只在你喂给它们的现金流和利率诚实时，才同样诚实。接下来你将转向：那个利率本身是如何被度量的，以及它如何随贷款的长短而变化。