Wolfe 條件（Wolfe conditions）
/ WOOLF /
當你往下踏一步，會有兩種出錯方式。踏得太大會越過頭，爬上谷的對側——你想下降卻上升了。踏得太小則幾乎沒動，毫無實質進展，注定方法永遠龜速爬行。Wolfe 條件是一對檢驗，線搜尋的步長必須通過才算「恰到好處」：大到能有實質進展，小到確實往下走。
讓迭代點從 x_k 沿方向 p_k 走 alpha，令 phi(alpha) = f(x_k + alpha p_k)。第一個 Wolfe 條件是 Armijo（充分減量）條件：f(x_k + alpha p_k) <= f(x_k) + c_1 * alpha * grad f(x_k)^T p_k，其中 c_1 很小（通常 1e-4）。它說實際的下降量至少要是初始斜率所預測下降量的 c_1 比例——這禁止過長（越過頭）的步。第二個是曲率條件：grad f(x_k + alpha p_k)^T p_k >= c_2 * grad f(x_k)^T p_k，其中 c_1 < c_2 < 1（通常 c_2 = 0.9）。它要求新點處的斜率比起點更平緩（更接近平坦），這禁止過短的步。兩者合起來（Armijo 加曲率）就是 Wolfe 條件；把曲率檢驗換成 |grad f(...)^T p_k| <= c_2 |grad f(x_k)^T p_k| 就得到更強的強 Wolfe 條件。
這些條件之所以重要，是因為它們是讓線搜尋法收斂的契約，而且對擬牛頓法不可或缺：BFGS 與 L-BFGS 仰賴曲率條件讓其近似海森矩陣保持正定（否則更新會崩壞）。有個定理（Wolfe 的）說：對下有界的光滑函數，沿任何下降方向總存在滿足這些條件的步長，所以線搜尋總能成功。誠實的細節：c_1 必須很小且嚴格小於 c_2，否則兩個要求互相衝突，沒有步能同時滿足。
以 c_1 = 1e-4、c_2 = 0.9 最小化 phi(alpha) = f(x_k + alpha p_k)：極小的步 alpha = 0.001 通過 Armijo（確實往下），卻不過曲率——斜率仍陡然為負，示意「太短，再推遠些」。越過頭的巨大 alpha 不過 Armijo——它上升得超出容許。靠近谷底的中等 alpha 兩者皆過：有實質進展、斜率近乎平坦。
Armijo 禁止越過頭，曲率禁止磨蹭——合起來，恰到好處。
單靠 Armijo 條件會容許荒謬的微小步；曲率條件才能排除它們，並讓擬牛頓的海森更新保持正定。c_1 取小（約 1e-4）、c_2 取大（牛頓型用 0.9、非線性 CG 約 0.1），且 c_1 < c_2——否則沒有步能同時滿足兩者。