范德蒙矩陣（Vandermonde matrix）
/ VAN-der-mond /
如果你堅持用最直白的方式找插值多項式——直接解出它的係數 a_0, a_1, ..., a_n——你會為每個資料點寫下一條方程式，說「多項式在 x_i 處等於 y_i」，再解出所得的線性方程組。這個方程組的矩陣，其元素是 x 值的冪次，就是范德蒙矩陣。
令 p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n，並要求每個 i 都滿足 p(x_i) = y_i，得到方程組 V a = y，其中 V 的第 i 列是 (1, x_i, x_i^2, ..., x_i^n)——每一列都是某節點冪次的等比排列。它的行列式有個著名的封閉形式：所有 i < j 的 (x_j - x_i) 之乘積。重點是一個乾淨的唯一性定理證明：只要節點互異，就沒有任何兩個因式為零，行列式非零，V 可逆，係數 a 被唯一決定。所以范德蒙觀點正是「恰好存在一個插值多項式」的線性代數解釋。
觀念上清晰，計算上凶險。范德蒙矩陣隨次數增長變得嚴重病態：對等距節點，其條件數呈指數爆炸，所以在浮點下解 V a = y 會損失許多位數，即使插值多項式本身沒問題，求得的係數也可能是垃圾。這正是為何超過少數幾點時，沒有人真的這樣計算插值——他們改用拉格朗日或牛頓形式，或重心公式，完全繞開這個矩陣。范德蒙矩陣是用來理解的，不是用來求解的。
對節點 0、1、2，范德蒙矩陣的各列為 (1, 0, 0)、(1, 1, 1)、(1, 2, 4)。其行列式等於 (1-0)(2-0)(2-1) = 2，因節點互異而非零，所以係數可唯一求解。
節點互異使行列式非零——因此係數唯一。
范德蒙方程組優雅地證明唯一性，卻是糟糕的計算方式：對等距節點其條件數大致以 2^n 增長，所以透過 V a = y 做高次擬合在數值上毫無希望。改用牛頓、拉格朗日或重心形式。