上半平面模型（upper half-plane model）

上半平面模型是圓盤的孿生兄弟：同一個雙曲平面的第二張、同樣忠實的圖，只是畫在不同的畫布上。這裡不是把無限世界擠進一個圓盤，而是把雙曲平面畫在一條水平線上方的區域——所有虛部 y > 0 的複數 z = x + i y。底部沿著的實軸扮演「無窮遠地平線」的角色。對許多用途、尤其在數論中，這張畫布遠比圓盤方便。

在上半平面 H 上，雙曲線元為 ds = |dz| / y，其中 y = Im(z) 是實軸上方的高度。密度 1/y 在底邊附近（y 小）很大、在高處很小，故和圓盤一樣，邊界（此處為實軸）附近的距離被拉伸至無窮。測地線取一種特別乾淨的形式：它們是鉛直半線（垂直於實軸的射線）與圓心落在實軸上的半圓。此模型透過凱萊變換 w = (z - i)/(z + i) 與龐加萊圓盤相連，該變換把上半平面共形且等距地映滿單位圓盤，把 i 送到中心 0、把實軸送到邊界圓。所以兩個模型是同一個雙曲幾何的不同座標——在其一中為真者，在其二中亦為真。

上半平面模型是自同構群 PSL(2,R)（以實莫比烏斯映射作用）的天然居所，並透過其離散子群模群 SL(2,Z) 成為模形式、模 j 函數、橢圓曲線與大片數論的舞台。它工整的鉛直線與半圓測地線也使雙曲三角的計算比在圓盤裡更乾淨。一個值得標明的提醒：實軸（連同它上方的無窮遠點）是 H 的邊界、是地平線——它不是雙曲平面的一部分，正如單位圓不是圓盤模型的一部分。實軸上的點是「尖點」或「無窮遠點」，與任何內部點都相距無窮遠。