二体问题

取空旷空间中的两个物体——一颗恒星和它的行星、地球和月球——彼此之间只靠引力相互拉扯，别无其他。此后它们将如何永远运动下去？这就是二体问题，它的美在于可以被精确求解，用纸笔就能给出完整而整齐的答案。它是天体力学中唯一一处自然完全可解的部分。

诀窍在于看对东西。每个天体都绕系统的质心运行，即两者之间的平衡点。把运动描述为两个天体之间的间距，再加上那个平衡点的漂移，杂乱的二体问题便坍缩为一个更简单的「单体」问题：一个虚构粒子在固定的引力势阱中运动。由此精确导出开普勒的结果——每个天体描出一个椭圆（若不束缚则为抛物线或双曲线），质心位于共同的焦点，周期由总质量 M_total 决定，即 P^2 正比于 a^3 / M_total。

由于可精确求解，二体问题是轨道预测的基石，也是测量质量的主力：给双星或行星与其卫星计时，测出轨道，方程便把质量交给你。它的局限既严重又重要——只要再加一个天体，就根本没有普遍的闭式解，这便是迈向三体问题与混沌的一跃。