剛體與連續體力學

無力矩進動(torque-free precession)

無力矩進動(torque-free precession)是旋轉物體的軸在毫無外力推動下,仍緩慢而穩定地遊移的現象。在無重力下拋出一個旋轉的飛盤或扳手,若它一開始並非恰好繞主軸旋轉,其對稱軸就會自行掃出一個圓錐。這裡沒有任何力矩——進動完全由物體自身不對稱的慣性所驅動。

原因在於:沒有力矩時,角動量 L 精確守恆並在空間中固定,但角速度 omega 不必平行於 L(回想 L = I omega 中 I 是張量)。對一個對稱陀螺,圖形軸、omega 與 L 三者始終共面,而該平面繞固定的 L 剛性地旋轉。尤拉方程式給出本體座標系的進動率 Omega_body = (I_3 - I_1) omega_3 / I_1,而從空間看,圖形軸繞 L 掃動的速率為 phi_dot = L / I_1。整個運動是兩個穩定的圓錐——omega 描出的「本體錐」在空間固定的「空間錐」上滾動。

這是尤拉進動或自由進動,且它是真正無力矩的,與傾斜陀螺受重力驅動的進動不同。地球就有這種現象:它的自轉軸略微偏離圖形軸,產生錢德勒擺動(Chandler wobble),這是一種週期約 433 天、在極點振幅僅數公尺的自由進動。真實物體中的阻尼會緩慢地把 omega 推向最大慣量的軸(固定 L 下能量最小),這就是為什麼被拋擲的物體最終會安定成扁平的旋轉。

在阿波羅 13 號的影片中可看到滯留太空的器材緩慢翻滾;一把自由漂浮的扳手繞固定的 L 旋轉,其長軸則沿圓錐點頭般擺動。由於沒有力矩改變 L,這種擺晃便一直持續,其速率由該工具主慣量的比值決定。

當 L 守恆而 omega 不與之平行時,軸就在毫無外力矩下進動。

無力矩進動常被與重陀螺的進動混淆,後者是由重力驅動的力矩造成的。這裡根本沒有力矩;此運動純粹是因為慣量張量讓 omega 與 L 指向不同方向才存在。

又称
free precessionEulerian precession無力矩進動自由進動