解曲面（solution surface）

把一階偏微分方程的解想成一個形狀，而非一條公式，會很有幫助。若 u = u(x,y) 滿足方程，則點 (x, y, u(x,y)) 描出一個漂浮在 (x,y) 平面上方的曲面——一片地景，其在每處的高度就是解值。這就是解曲面，而整個特徵線法其實是一種逐條曲線地建造這個曲面的方法。

這裡是它幾何上的核心。對 a u_x + b u_y = c，重排為 a u_x + b u_y - c = 0，它說向量 (a, b, c) 在每點都與曲面的法向量 (u_x, u_y, -1) 垂直——等價地說，(a, b, c) 與曲面相切。所以特徵曲線（其切向恰是特徵常微分方程給出的 (a, b, c)）完全落在解曲面之內：它們是繡在其上的線。要建造曲面，你取初始資料曲線（一條已畫在空間中的線），並過它的每一點拉出一條特徵線；這族特徵線掃出整個曲面。解曲面是由特徵線編織而成的。

這幅圖讓好幾個真相一目了然。為何特徵線上的資料行不通：它只給你一條線，不足以掃出一個曲面。為何相交的特徵線會破壞解：曲面將不得不在平面上同一點取兩個不同的高度，而任何圖形 u(x,y) 都做不到——曲面翻折，單值解便死去。以解曲面來思考，把分析變成了幾何。