瑞利商疊代
/ RAY-lee /
反冪法在移位 sigma 非常接近目標特徵值時效果最好。但若你只有一個粗略的猜測呢？這裡有個優雅的想法：別把移位固定——每一步都用你目前最好的特徵值估計來更新它。隨著特徵向量的估計變得更銳利，你的移位就更靠近真正的特徵值，使下一步反冪法更快，進而讓估計更銳利。這個回饋迴路就是瑞利商疊代（Rayleigh quotient iteration），它收斂得快得驚人。
機制上：給定一個單位向量 v，瑞利商 r(v) = v^T A v / (v^T v) 是與 v 相關的特徵值的最佳單一數字估計（對稱矩陣下，當 v 為特徵向量時它恰為特徵值，且它最小化 ||A v - r v||）。演算法重複：計算 sigma = v^T A v；解 (A - sigma I) w = v；令 v = w / ||w||。因為移位逼近特徵值的速度，與向量逼近特徵向量的速度同步，誤差相乘複合。對稱矩陣下收斂是「三次」（cubic）的：每步正確位數大致「三倍」增長。從 1 位到 3 位到 9 位到 27 位——少數幾次疊代就達到機器精度。
三次收斂很戲劇化，但有誠實的告誡。每一步都得解一個新的線性系統（移位變了，所以無法重複使用同一次 LU 分解），使每步比固定移位的反冪法更昂貴。而且因為移位會跳動，這方法只是「局部收斂」：從不佳的起始向量出發，它可能收斂到你不想要的特徵對，或四處遊走。實務上 RQI 用作快速收尾——先用 QR 演算法或幾步冪法進入鄰域，再切換到 RQI，兩三次疊代就把一個特徵對磨到滿精度。
對列為 (2, 1) 與 (1, 2) 的 A，從 v = (1, 0) 開始。sigma = v^T A v = 2。解 (A - 2I) w = v，其中 A - 2I 的列為 (0,1),(1,0)：w = (0, 1) -> v = (0, 1)。此處因對稱性新的 sigma 又是 2；改用略為傾斜的起點如 (1, 0.1)，則兩三步內收斂到 (0.707, 0.707) 與 sigma = 3 達滿精度——位數每步三倍增長。
每步用瑞利商更新移位，對稱矩陣下可得三次收斂。
三次收斂適用於對稱（厄米）矩陣；對一般非對稱矩陣，RQI 是二次收斂，仍然很快。代價是每步要重新分解，且收斂只是局部的——可能落到非預期的特徵對，所以它是收尾打磨工具，不是全域搜尋。