卜瓦松罕見事件法則（law of rare events）

罕見事件法則是賦予卜瓦松分配意義與名稱的概念。想像有極多次獨立的機會讓某事發生，而每一次機會幾乎都不會成功。有數百萬名駕駛，但任一人在某天出車禍的機率極小。有數十億個鹼基對，但任一個突變很罕見。把這許多微小的機率加總起來，成功的總計數——今天的事故、這個基因的突變——就服從卜瓦松分配。罕見事件在許多機會上聚合後，會變成卜瓦松。

其精確內容是一個極限。取一個有 n 次試驗、每次成功機率 p 的二項，讓 n 變得非常大而 p 變得非常小，保持期望成功數 np = lambda 固定。在這個極限下，二項 pmf 收斂到卜瓦松 pmf：e^(-lambda) lambda^k / k!。直觀是：試驗如此之多、機率如此之低，計數不再分別記得 n 或 p——只有它們的乘積、平均速率 lambda 存活下來。這就是為何卜瓦松只需一個參數，而二項需要兩個。

誠實的告誡藏在「獨立且穩定速率」這幾個字裡。經典例子——每年被馬踢死的普魯士士兵人數——吻合得極好，因為被踢是獨立且罕見的。但當罕見事件會群聚時，這個法則就失效——地震引發餘震、爆紅貼文引發更多轉發——因為這時一個事件改變了下一個事件的機率，違反了獨立性。在這種情形下計數過度離散，卜瓦松會低估離散程度。