奧利奇範數（Orlicz norm）
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奧利奇範數是把「次高斯」與「次指數」這兩個定性類別轉化為誠實範數的工具——可以相加、伸縮與比較的數值。一旦有了範數，次高斯變數構成一個巴拿赫空間，和可由三角不等式控制，上百個集中論證就變成例行的記帳。對集中而言重要的兩個範數是 psi_2（次高斯）範數與 psi_1（次指數）範數，分別由楊氏函數 psi_2(x) = e^(x^2) - 1 與 psi_1(x) = e^x - 1 建構。
對於楊氏函數 psi（凸、遞增、psi(0)=0），X 的奧利奇範數為 ||X||_psi = inf{ t > 0 : E[psi(|X|/t)] <= 1 }。下確界挑出最小尺度 t，使得重新縮放後的隨機變數其期望奧利奇成本至多為 1。具體地，||X||_psi2 = inf{ t > 0 : E[exp(X^2/t^2)] <= 2 } 是次高斯範數，||X||_psi1 = inf{ t > 0 : E[exp(|X|/t)] <= 2 } 是次指數範數。一個變數是次高斯當且僅當 ||X||_psi2 < 無窮，是次指數當且僅當 ||X||_psi1 < 無窮；這些有限範數（在絕對常數意義下）等價於各自定義中的動差增長與尾常數。兩者間的基本連結是 ||XY||_psi1 <= ||X||_psi2 ||Y||_psi2，尤其 ||X^2||_psi1 = ||X||_psi2^2，這是「次高斯的平方為次指數」的嚴格形式。
為何要範數而非常數？因為它讓操作變得乾淨。三角不等式讓你拆分誤差；置中只花費一個常數，||X - E[X]||_psi <= 2 ||X||_psi；而對於獨立置中次高斯，關鍵的可加性是 ||sum X_i||_psi2^2 <= C sum ||X_i||_psi2^2，這條變異數代理相加規則產生了 Hoeffding 界。範數在 E[psi(...)] <= 2 右側選 2（有些教科書用 1）所隱含的絕對常數意義下是唯一的；這正是貫穿整個主題的同一個無害常數模糊性。奧利奇範數也推廣了 L^p 尺度：||X||_psi 同時控制所有 L^p 範數，這恰是動差增長刻畫。
對於 X ~ N(0, sigma^2)，E[exp(X^2/t^2)] = (1 - 2 sigma^2/t^2)^(-1/2)，當 t^2 = 8 sigma^2 / 3 時等於 2，故 ||X||_psi2 = sigma sqrt(8/3) ~ 1.63 sigma——有限且與 sigma 成比例，正如次高斯範數應有的樣子。Rademacher 符號則有 ||X||_psi2 = 1/sqrt(log 2)。
高斯的 psi_2 範數是其標準差的固定倍數。
奧利奇範數的確切數值取決於慣例（右側用 2 還是 1，以及用 psi(x)=e^(x^2)-1 還是 e^(x^2)）；只有在絕對常數意義下的等價類是典範的。不要跨教科書比較 psi 範數而期望得到相同數字。