非齊次系統（nonhomogeneous system）

齊次系統 x' = A x 描述放任不管的事物，溫度鬆弛、物種互動、電流穩定下來，沒有外來推力。但真實系統通常是被驅動的：暖氣灌入熱量、發電機供給電壓、移入為人口添丁。非齊次系統就是加上了這類外部輸入的線性系統：x' = A x + g(t)，其中 g(t) 是給定的強迫向量，往往隨時間變化。

它的解有乾淨的兩部分結構，恰與單一方程的情形如出一轍。通解是 x(t) = x_h(t) + x_p(t)：一個互補部分 x_h，即齊次系統 x' = A x 的通解（由 e^(At) 與一個任意常數向量構成），加上任一個處理強迫 g(t) 的特解 x_p。齊次部分承載系統自身的固有行為，以及匹配任意初始條件的自由度；特解部分則是專門對輸入的響應。疊加原理保證這種拆分行得通，也意味著若強迫是若干片段之和，你可分別求每片段的響應再相加。

x_h 中的自然衰減或成長就是暫態，對穩定的 A 它會消逝，讓受迫響應在長期主導，正如被驅動的振子最終安頓進驅動者的節奏。求 x_p 才是真正的工作，而系統的萬用工具是參數變易法，它對 e^(At) 產生杜哈梅卷積積分。對特殊強迫（常數、多項式、指數、正弦）用待定係數法猜測可能更快。