N 體模擬（N-body simulation）

把一千顆恆星丟進空曠的太空，讓重力把每一顆拉向其他每一顆，看看十億年間會發生什麼。這沒有封閉公式——連三個有重力的物體都沒有通解——所以唯一的辦法是一步一步地模擬它。N 體模擬正是如此：它追蹤 N 個彼此皆有交互作用的粒子的運動，把它們的軌跡向前積分。

其核心又是牛頓。每個粒子受到的力是其他所有粒子拉力的總和，你計算那個合力，以一個小時間步更新速度與位置（通常用蛙跳法這類辛積分子，以在長時間運行中守恆能量），然後重複。天真做法的代價是癥結所在：有 N 個粒子時，把每一對的力都加起來，每步是 N 乘 N 的工作量，對星系模擬中的數十億粒子而言毫無希望。本領域偉大的演算法構想正是攻克此點。樹碼（巴恩斯-赫特法）把遠處成群的粒子歸組，把每一群當成單一個物體處理，把代價砍到約 N log N。快速多極法更進一步，把整群粒子的遠場影響展開成少數幾個精選的項，逼近線性 O(N)。粒子網格法把粒子鋪到網格上，用基於 FFT 的快速帕松求解器求出場。

N 體模擬建構了我們對星系、暗物質與宇宙網如何形成的現代圖像，同樣的機械也模擬電漿、星團，甚至人群與交通。誠實的告誡是：那些快速方法是帶有可控誤差的近似——你用精確的兩兩力交換一個可調的精度參數——而且粒子間的近距離接觸可能需要極小的時間步或特殊處理。其中的藝術，在於選擇那些你理解且能界定其誤差的近似。