環性質（cycle property）

切割性質告訴你哪條電纜可以安全地加入。環性質是它的鏡像：它告訴你哪條電纜可以安全地丟掉。看你網路中任一條由電纜構成的封閉迴圈。那個迴圈上最貴的那一條電纜永遠用不到——總存在一個最小生成樹把它排除在外。每當你發現一個迴圈，你都能心安理得地刪掉它最重的邊。

精確地說：若邊 e 是某個環上唯一的最大權重邊，則 e 不在任何最小生成樹中。論證仍是交換。假設某個 MST T 含有 e。移除 e 把 T 分成兩塊，將頂點切成兩個集合。e 所在的環必透過某條其他邊 f 在那兩塊之間跨越（一個環在 e 處斷開後，仍以繞遠路的方式連接 e 的兩端點）。因為 e 是那個環上最重的邊，weight(f) < weight(e)。用 f 換掉 e：你用一條嚴格更便宜的邊重新連接樹，產生一個總權重更小的生成樹——與 T 為最小矛盾。所以沒有 MST 含有 e。

環性質是與切割性質的「保留規則」互補的「丟棄規則」，兩者合起來完整地證成貪婪 MST 演算法。克魯斯卡演算法正是環性質的實踐：它由便宜到昂貴考慮各邊，並拒絕任何會封閉成環的邊，因為這種邊必然是它會造出的那個環上最重的。一個精確的提醒：乾淨的陳述需要環上最重的邊是唯一的。若環上數條邊並列為最重，你可以丟掉其中一條但未必是某一條特定的，且可能存在不只一個 MST。