Lundberg 不等式（伦德伯格不等式）
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计算保险公司有朝一日破产的精确概率通常很难——盈余路径能以无数种方式抖动和跳跃。Lundberg 不等式是一条漂亮的捷径：它不给出精确答案，却给出一个有保证的天花板，一个你能一行算出、真实破产概率永远不会超过的简单上限。一个你总能依靠的安全天花板。
准确地说，在经典的 Cramer-Lundberg 模型中，该不等式断言无限时间破产概率满足 psi(u) 至多为 e^(-R*u)，其中 u 是初始盈余，R 是调整系数。慢慢地读：随着你堆上更多的起步资本 u，右边呈指数式缩小，于是破产的天花板迅速下降。资本翻倍，上界就平方（1% 的上界变为至多 0.01%）。这个不等式也把 R 的角色显现得淋漓尽致——更大的调整系数（更丰厚的附加、更温顺的赔款）让衰减更陡、对任意给定的 u 都把天花板压得更低。
这个不等式之所以重要，是因为它把一个棘手的问题变成了一条可用的经验法则和一个资本目标。如果你想让破产概率低于某个水平 p，只需把 u 选得足够大、使 e^(-R*u) 至多为 p，即 u 至少等于（负的 log p）除以 R——一个干净的信封背面式资本要求。两点诚实的提醒。第一，它只是一个上界；真实破产概率通常更小，所以按上界来配置资本是保守的。第二，更重要的是，这个上界要求 R 存在，而那要求赔款是轻尾的；对于重尾损失，指数式的天花板根本不成立，破产衰减得比 e^(-R*u) 慢得多。
在调整系数 R = 0.000004 下，某保险公司想让破产概率低于 1%，就需要 e^(-R*u) 至多为 0.01，即 u 至少为 (-ln 0.01)/R = 4.6/0.000004 = 1,150,000 的初始盈余。在该 u 处的真实破产概率略低于 1%——这个上界是一个安全的天花板。
psi(u) 至多为 e^(-R*u)：一行的上界，把资本转化为破产的天花板。
它是一个上界，而非精确概率，并且只在 R 存在的轻尾赔款下成立。对于重尾赔款，指数式上界无效，而且危险地过于乐观。