期望值的線性性

在機率所有規則裡，這一條好得幾乎令人不敢相信。它說你可以自由地把期望值穿過求和與常數倍數，而且——令人驚訝地——你不需要各部分彼此獨立。只要一個量能被拆成一個和，它的期望值就只是各期望值之和。

精確地說：對任意常數 a、b 與任意隨機變數 X、Y，E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y]，並可推廣到任意多項。奇蹟之處正是大多數人記錯的那部分：即使 X 與 Y 高度相依，它仍成立。為什麼？因為期望值是由求和（或積分）建構的，而你總能把和重新排序；相依性影響的是 X 與 Y 如何「一起變動」，但把加權值的和重排序從不過問這件事。（變異數與乘積就是另一回事了——那裡獨立性真的有關係。）

這是處理困難計數問題的祕密武器，因為你幾乎從不需要完整的分布。想要一次隨機洗牌中固定點的期望數目、空箱子的期望數目，或一副牌中相符的期望數目？把這個計數寫成若干簡單的「是/否」指示變數之和，對每一個取期望值（每個都只是一個機率），再相加。指示變數之間的相依性——通常還很麻煩——被完全忽略。這就是指示變數技巧，而線性性正是讓它合法的東西。