线性变换（linear transformation）
/ LIN-ee-ur trans-for-MAY-shun /
线性变换是一种「重塑空间」的手法，而且重塑得井井有条：直线仍然是直线，原点（零点）原地不动，均匀的网格线仍然均匀——它们可以被拉伸、压扁、旋转或斜切，却永远不会被弯折或撕裂。想象一张有弹性的方格纸，你可以拉它、转它、斜着推它，却不能把它揉皱。那种平滑而均匀的重塑，正是这里「线性」的含义。
每一个线性变换都能用一个矩阵来刻画，而把这个变换作用到一个向量上，无非就是用那个矩阵去乘这个向量。这正是矩阵之所以重要的深层原因：一格格数字，其实是一份「如何移动并重塑空间」的紧凑配方。两条形式化的规则把它钉死——把输入放大几倍，输出就放大同样的倍数；和的变换等于变换的和。说白了，就是各部分相加、毫无意外。
在机器学习里，神经网络的每一层，开头都先做一次线性变换：把输入乘以一个权重矩阵，来混合并重塑它们。但有一点值得记牢——无论你把多少个线性变换叠在一起，得到的也永远只是另一个线性变换。这正是为什么网络要在层与层之间插入一个非线性步骤（激活函数）。少了它，一个百层的网络就会塌缩成单层的本事，深度学习也就一点都不「深」了。
矩阵 [ [2, 0], [0, 1]] 把一切都横向拉伸到两倍宽，而高度不变——一个正方形就变成了一个扁长的矩形。矩阵 [ [0, -1], [1, 0]] 则把整个平面逆时针旋转四分之一圈。这两种情形下，原点都纹丝不动，网格线始终保持笔直且间距均匀：这正是它们之所以「线性」的缘由。
矩阵其实是个动词：[ [2,0],[0,1]] 在说「横向拉宽」，[ [0,-1],[1,0]] 在说「旋转」。同一张网格，重塑而不弯折。
严格的线性变换必须让原点固定不动；一旦再加上一个平移（偏置项），它就成了「仿射」变换，而非线性变换。深度网络之所以需要激活函数，恰恰是因为「线性叠线性」依旧只是线性——是非线性才解锁了它们的威力。