拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是二階導數濾波器：它衡量的不是亮度變化得多快（梯度），而是那個變化率本身又變化得多快，實際上就是一個像素與其鄰居平均值相差多少。它是等向性的，以單一純量值同時對各方向的強度變化作出反應，而非方向向量，這使它成為不在意方向的天然斑點與邊緣偵測器。

數學上，拉普拉斯是非混合二階偏導數之和，寫作 nabla 平方 f = d2f/dx2 + d2f/dy2。在像素格上它由各列為 [0, 1, 0]、[1, -4, 1]、[0, 1, 0] 的核（或含對角線的 [1, 1, 1]、[1, -8, 1]、[1, 1, 1]）近似。關鍵的行為事實是：邊緣在拉普拉斯中並非以尖峰、而是以零交越（zero-crossing）出現：當你穿過一道邊緣，二階導數由強正擺向強負，恰在邊緣處交越零點。定位這些符號變化可得到次像素精度的邊緣位置，這是 Marr-Hildreth 邊緣偵測的基礎。

由於二階導數放大雜訊比一階導數更猛烈，原始拉普拉斯幾乎從不單獨使用。解法是先用高斯平滑，得到高斯拉普拉斯（LoG），這是一個形如墨西哥帽的單一核，同時模糊並取二階導數；其寬度 sigma 選定所偵測特徵的尺度。LoG 可由高斯差（DoG，相減兩張高斯模糊影像）緊密近似，這正是 SIFT 偵測器用來尋找尺度不變關鍵點的方法。拉普拉斯也驅動銳化：把帶比例的負拉普拉斯加回影像，output = f - c * nabla 平方 f，可增強邊緣。