Kolmogorov 延拓定理（Kolmogorov extension theorem）

假設你想為「無窮多次擲幣」或「在連續時間中永遠運行的過程」建模。你很容易說出任何有限片段上應發生什麼——前 n 次擲幣的機率，對任意 n 皆然。但在「所有完整序列」這個無窮空間上，真的存在一個單一、一致的機率測度嗎？這並不顯然。Kolmogorov 延拓定理正是保證它存在：它由一族「一致的有限維描述」建構出無窮乘積上的測度。

輸入是一族有限維分布：對每一個有限的時間指標集，你指定該過程在那些時刻的聯合分布。它們必須滿足兩個自然的一致性條件：描述不應依賴你列出指標的順序；而且小指標集的分布，必須是「忽略（積分掉）較大指標集多出座標」後所得的邊際分布。在這種一致性下，定理產生出一個唯一的機率測度，定義在完整的無窮維乘積空間上，其有限維邊際恰好就是你所指定的那些。實際上它把無數彼此重疊的有限快照縫合成一幅連貫的無窮圖像，接縫處毫無矛盾。

這就是隨機過程的存在性定理。正因為有它，你才能正當地談論「無窮多次獨立公正擲幣」、「整條半直線上的卜瓦松過程」、或布朗運動的有限維結構，把它們當作住在一個道地機率空間上的對象。唯一的技術告誡是：它需要取值空間夠好（標準 Borel 空間，例如實數），這涵蓋了實務上幾乎每個模型；而且它只釘定有限維分布，所以像路徑連續性這類更細緻的性質，需在這個赤裸定理之外另做工夫。