單應性

單應性（homography）是把同一個平坦表面在不同視角下拍攝的兩張影像關聯起來的幾何變換，或等價地說，是把一台只繞其中心旋轉（沒有橫向移動）的相機所拍的兩張影像關聯起來的變換。直覺上，如果你正對著牆上的海報拍一張、再從一個角度拍一張，矩形會變成一個傾斜的四邊形，直線仍保持直，但平行線可能會匯聚，而一張影像變成另一張的轉換，恰恰被單一個單應性完整捕捉。它是全景拼接、透視校正（把拍歪的文件擺正）、平面標記上的擴增實境疊加，以及紋理貼圖背後的主力映射。

在數學上，單應性是一個作用於以齊次座標（homogeneous coordinates）表示之點的 3×3 矩陣，齊次座標的意思是：一個座標為 (x, y) 的 2D 點，被表示成一個 3 維向量 (x, y, 1)，而該向量的任何非零純量倍都代表同一個點。矩陣乘以這個 3 維向量產生另一個 3 維向量，你把它除以第三個分量（透視除法）即可還原出變換後的 2D 點。正是這個除法讓單應性能產生透視的匯聚與縮短效果，而仿射變換做不到。由於矩陣可以乘上任意非零常數而不改變映射，它有 8 個自由度，而非 9 個。

估計單應性需要點對應：在兩張影像中已知為同一個實體位置的點對。每組對應給出兩條方程式（一條給 x 座標，一條給 y 座標），所以四組對應（八條方程式）就足以解出八個未知數，前提是這四點中沒有任三點共線。標準方法是直接線性變換（Direct Linear Transform, DLT），它把對應方程式排成一個齊次線性系統，並透過奇異值分解（SVD）求解。為了數值穩定，這些點要先正規化（平移並縮放到一個標準範圍），這是初學者常跳過的必要步驟。

在實際應用中，對應來自特徵比對且充斥著離群值，因此單應性是在 RANSAC 內部估計的：反覆抽樣四組配對、計算一個候選單應性、計算與它一致的內群值配對數、保留最佳者，再在全部內群值上精修。要記住的關鍵假設是平面性：唯有被拍攝的表面是平的、或相機運動是純旋轉時，單應性才能正確地映射場景。對於有平移的一般 3D 場景，沒有單一單應性能擬合，而會出現視差（parallax）；那種情況改而需要基本矩陣或本質矩陣以及完整的 3D 重建。