高斯模糊

高斯模糊以「用鄰域的加權平均取代每個像素」來平滑影像，而權重遵循鐘形（高斯）曲線：鄰居越近，分量越重。不同於平坦的平均，柔和的鐘形緩緩衰減，因此模糊看起來自然、沒有生硬的瑕疵。它是典型的低通濾波器：讓緩慢平滑的變化通過，同時衰減細節與高頻雜訊。

二維核為 G(x,y) = (1/(2*pi*sigma^2)) * exp(-(x^2 + y^2)/(2*sigma^2))，是一座以該像素為中心的山丘，其唯一參數 sigma（標準差）決定模糊半徑：sigma 小只觸及最近的鄰居，sigma 大則延伸到遠處、抹除更多。實務上你會把無限延伸的鐘形截斷成約 6*sigma + 1 個像素的有限視窗（涵蓋大約正負 3 個 sigma）。此核可分離成水平與垂直的一維高斯，且為等向性（旋轉對稱），因此各方向模糊相同且執行快速。

有兩個更深的事實使高斯與眾不同。它的傅立葉轉換仍是高斯，因此它平滑地衰減高頻、不產生振鈴或過衝，這與方框濾波器不同。而由中央極限定理，用幾乎任何小核反覆卷積都會趨近高斯，這正是反覆方框模糊能廉價近似它的原因。高斯也是尺度空間（scale space）的基礎：以遞增的 sigma 模糊會生成一族越來越粗的影像，撐起了 SIFT、高斯拉普拉斯（Laplacian-of-Gaussian）與高斯影像金字塔。