高斯對數索伯列夫不等式（Gaussian log-Sobolev inequality）
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高斯對數索伯列夫不等式（Gross）是高斯世界的主泛函不等式。它用一個函數梯度的平均大小，界定一個衡量該函數有多「非常數」的類熵量——一個乾淨的不等式同時編碼了測度集中、奧恩斯坦-烏倫貝克半群的指數收斂、以及（等價地）超收縮性。它是 Poincare 不等式的無維升級，也是高斯測度如此易於分析的原因。
設 gamma 為 R^n 上的標準高斯測度，定義 f^2 的熵為 Ent_gamma(f^2) = integral f^2 log f^2 dgamma - (integral f^2 dgamma) log(integral f^2 dgamma)。Gross 不等式陳述：對所有光滑 f，Ent_gamma(f^2) <= 2 integral | grad f |^2 dgamma，常數 2 銳利且關鍵地與維度 n「無關」。（對比高斯 Poincare 不等式 Var_gamma(f) <= integral |grad f|^2 dgamma，它控制變異數；LSI 控制更強的熵泛函，並在常數附近線性化後推出 Poincare。）無維常數正是它在無窮維、以及乘積／高維情形中強大之處，因為它「張量化」：R^1 上 gamma 的 LSI 自動以「相同」常數給出 R^n 上 gamma^n 的 LSI。Gross 定理斷言此不等式「等價」於 OU 半群的 Nelson 超收縮性，二者沿時間參數互為勒讓德型變換。
重要性：由 LSI，經 Herbst 論證可導出 Lipschitz 函數的次高斯集中，對 1-Lipschitz 的 f，P( f - E f >= u ) <= exp(-u^2 / 2)——以明確常數重得高斯等周集中；可導出 OU 流下熵的指數衰減（故快速混合）；並得到一個穩健、可張量化、且在等周性微妙的無窮維中仍存活的工具。誠實提醒：梯度須是與高斯共變異數相配的「歐氏」梯度，且無維常數是對數凹測度才有的特殊性——對一般測度，至多得到一個常數依賴於測度的 LSI（例如經由 Bakry-Emery 曲率準則），且未必存在。
對 1-Lipschitz 的 g，把 LSI 套用於 f = exp(lambda g / 2)（Herbst 論證）：熵化為對數動差母函數的微分不等式，積分得 E[exp(lambda(g - E g))] <= exp(lambda^2 / 2)。由馬可夫不等式這正是次高斯尾 P(g - E g >= u) <= exp(-u^2 / 2)——僅由梯度界產生的高斯集中。
對數索伯列夫不等式加 Herbst 論證，對 Lipschitz 的 g 產生高斯集中 P(g - E g >= u) <= exp(-u^2/2)。
常數 2 銳利且「與維度無關」（它張量化），這是對數凹測度才有的特殊性；一般測度未必滿足任何對數索伯列夫不等式。