對極幾何

想像有兩台相機在拍攝同一個場景。挑出物體上的某一個點，比方說某人鼻尖那一點。它在左邊照片中落在某個特定像素上。那麼同一個鼻尖會出現在右邊照片的哪裡？直覺上你可能以為它可能在任何地方，所以找對應點就得搜尋整張右影像。對極幾何（epipolar geometry）這個漂亮的事實告訴我們：只要知道兩台相機的相對擺放位置，這個對應點就被「逼」到右影像中一條已知的直線上。這把一個二維的搜尋壓縮成一維，也是幾乎所有立體視覺與多視角演算法的基石。

原因純粹是幾何。這個三維點，連同兩個相機中心（每台相機裡光線匯聚的那個小針孔），共同定義出一個平面，稱為對極平面（epipolar plane）。左相機沿著一條射線看到這個點；這條射線投影到右影像中，就成為一條直線——對極線（epipolar line）。真正的對應點一定落在三維中這條射線上的某處，因此它的影像必定落在這條投影直線上的某處。你能想像沿著左射線的每一個三維點，都會對映到同一條右影像直線上的不同位置——這正說明了「深度」（沿射線多遠）與「在直線上的影像位置」其實是在說同一件事的兩種方式。

兩個反覆出現的物件讓這幅圖更精確。基線（baseline）是連接兩個相機中心的線段。基線穿透每個影像平面之處稱為對極點（epipole）：右影像中的對極點，字面上就是左相機中心的投影位置，反之亦然。一張影像中所有的對極線都通過該影像的對極點，就像輪輻通過輪轂一樣。當兩台相機被擺成影像平面平行、列對齊的配置（立體相機常用的「校正後」設定），對極點會跑到無窮遠，每條對極線都變成水平掃描線，於是匹配就簡化為沿同一列掃描——這是實務上最簡單也最常見的情形。

對極幾何在代數上由基礎矩陣（fundamental matrix，未校正相機、像素座標）與本質矩陣（essential matrix，已校正相機、正規化射線座標）所刻畫。它純粹是兩台相機相對位姿與內部光學的性質——完全不依賴場景內容。這正是它強大之處：只要從少數幾組對應點估計一次，它就免費地約束了所有其他對應點。