不連續伽遼金法（discontinuous Galerkin method）
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有限元素法與有限體積法各有對方所缺的一項強大優勢。有限元素用豐富的多項式提供高階精度，且能處理複雜幾何；有限體積透過數值通量保證精確守恆並優雅地處理激波。不連續伽遼金法就是兼取兩者的混血：它是一種有限元素法，卻像有限體積一樣容許解在元素之間「跳變」，並透過數值通量耦合鄰居。它常被描述為 FEM 與 FVM 之間的橋樑。
其建構如下。像 FEM 一樣，你在每個元素內放一個 p 次多項式並使用伽遼金弱形式。但與標準 FEM 不同，你「不」要求跨元素邊界的連續性——每個元素帶著自己獨立的多項式，解可以在元素界面處不連續，恰如 FVM 的格平均（那是 p=0 的特例）。為了耦合這些斷開的元素，你做有限體積所做的事：在每個元素內分部積分，並在每個共用面上用一個從兩側算出的單一「數值通量」取代（現在為雙值的）通量。所以 DG 把元素內的高階多項式重建，與元素間基於通量的守恆耦合結合起來。質量矩陣是塊對角的（每個元素獨立），這使顯式時間推進非常高效且高度可平行。
不連續伽遼金已成為高階計算流體力學、電磁學與對流主導問題的領先方法，正是因為它在非結構網格上把高階精度與局部守恆及激波捕捉結合起來。誠實的代價是真實的。DG 帶著比連續 FEM「多得多」的自由度——每個元素在其共用面上複製未知數，所以同階的 DG 網格比連續網格多出數倍的未知數。它需要與有限體積相同的非線性限制機制，才能在激波處保持不振盪（而把高階 DG 乾淨地限制確實困難）。顯式 DG 也繼承了同樣的 CFL 時間步限制，且隨 p 上升而更嚴。它強大，卻不是免費的升級——你以自由度與實作複雜度換取精度與彈性。
在次數 p=0（每個元素一個常數）時，DG 恰好化約為有限體積法——每格持有一個平均，鄰居透過數值通量耦合。提高到 p=1, 2, 3，在每格放入線性、二次或三次多項式，把光滑解上的精度提升到 O(h^{p+1})，同時保持格之間相同的、基於通量的守恆耦合。
FVM 是 p=0 的 DG；提高 p 在相同的守恆通量耦合下給出高階精度。
DG 換來高階精度加上局部守恆，但代價真實：它在共用面上複製未知數（自由度遠多於連續 FEM）、在激波處仍需限制器，且其顯式時間步隨多項式次數增大而更嚴。它是一筆強大的交易，而非免費的。