齊次座標

齊次座標是一種記帳技巧，能把視覺中那些棘手的運算——平移與透視除法——化為乾淨的矩陣乘法。其想法是多加一個座標。二維點 (x, y) 寫成三維向量 (x, y, 1)，三維點 (X, Y, Z) 寫成四維向量 (X, Y, Z, 1)。那個多出來的座標，就是把一切線性化的槓桿。

其決定性規則是尺度不變性：一個齊次向量與它的任意非零倍數代表同一個點，因此 (x, y, 1)、(2x, 2y, 2) 與 (wx, wy, w) 都表示普通點 (x, y)。要轉回普通（笛卡兒）座標，就除以最後一個分量：(a, b, w) 變成 (a/w, b/w)。這一次除法恰恰就是透視投影裡的「除以深度」，這也是為何整個針孔對映 x = f X / Z 能塌縮成「一次矩陣相乘再做齊次正規化」，而不再是一條外顯的非線性公式。

有兩項好處使它不可或缺。第一，平移、旋轉、縮放與投影全都變成單一的 3x3（對二維而言）或 3x4（對投影而言）矩陣，於是一連串變換可用矩陣乘法來組合——這正是相機投影矩陣 P = K[R|t] 的基礎。第二，無窮遠點獲得了有限且行為良好的表示法：一個方向（消失點）不過就是最後一個座標 w = 0 的齊次點，於是「平行線於無窮遠處相交」不再是特例，而是投影空間中的一個普通點。這就是整套投影幾何，以及單應性（homography）、基本矩陣（fundamental matrix）等估計任務所使用的語言。