基礎矩陣

基礎矩陣（fundamental matrix）是一個 3×3 的數字表格，它編碼了兩個未校正視角之間完整的對極幾何——「未校正」意指你不需要知道每台相機的焦距或鏡頭參數。它的功能濃縮在一條優雅的方程式裡：若某個場景點在第一張影像出現在像素 x、在第二張出現在像素 x'，則 x' 的轉置乘以 F 再乘以 x 等於零。這裡 x 與 x' 寫成齊次座標（像素的行與列，再附加一個 1），這條式子表示這兩個點與單一一組剛性的雙相機配置相容。

從幾何上讀，F 是一台把「點」變成「線」的機器。用 F 乘上第一張影像中的點 x，你就得到它在第二張影像中對極線的係數：對應點 x' 必須滿足這條直線方程式，也就是落在線上。取轉置後，F 把第二張影像的點映成第一張影像中的對極線。兩個對極點是 F 所消滅的特殊方向：F 乘以第一個對極點為零，F 的轉置乘以第二個對極點也為零。這正是為什麼 F 的秩是 2 而非 3——它的行列式必為零——而在估計時強制施加這個約束至關重要。

仔細計數，F 有 9 個元素，但只有 7 個自由度：少了一個是因為把 F 乘上任何非零常數方程式都不變（整體尺度沒有意義），再少一個是因為秩為 2（行列式為零）的約束。你從對應點估計 F。經典的正規化八點演算法在把座標重新縮放到數值表現良好後（Hartley 正規化），用八組或更多匹配解一個線性系統，再把最小的奇異值歸零以強制秩為 2。七點演算法利用秩的約束，只需七組匹配。在充滿誤匹配的真實影像中，F 會被放進 RANSAC 內擬合，反覆嘗試最小樣本，保留最多對應點所認同的那個 F。

因為 F 直接在像素座標中運作，它把相機的相對運動與每台相機未知的內部校正全都揉在一起。這既是它的優點（不需校正），也是它的弱點（它本身無法告訴你度量單位下的旋轉與平移）。一旦你確實知道相機的內部參數，就能把 F 轉換成本質矩陣，再從中萃取出真正的相對位姿。