壓縮映射（contraction mapping）

壓縮映射是一種算子，永遠把兩點拉得更近：把它作用到任一對價值函數上，兩者的距離至少會縮小一個固定比例。這個單一的幾何事實，是動態規劃裡幾乎所有收斂證明的引擎。若反覆套用一個算子會持續壓縮空間，迭代就必然漏斗般地匯向唯一的安歇點。

在強化學習中，這個算子是貝爾曼算子（Bellman operator），固定比例就是折扣 γ < 1。用最大範數（對狀態取上確界）來量，策略評估算子與貝爾曼最優算子都是 γ-壓縮。巴拿赫不動點定理於是保證有唯一不動點——價值函數 V^π 或最優 V*——而且價值迭代會幾何式收斂到它，誤差在 k 次掃描後大約以 γ 的 k 次方縮小。

這個壓縮是活在最大範數裡的。一旦你在不同的範數下近似價值（最小平方擬合是在 L2 範數下做的），算子在那個範數下可能就不再是壓縮，這正是近似動態規劃失去乾淨保證的地方。