豪斯霍爾德轉換（Householder reflection）
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豪斯霍爾德轉換是一面巧妙的鏡子。選一個通過原點的平面；這個反射把每個向量送到它對這平面的鏡像。像任何鏡子一樣，它保持長度與角度——只是翻轉。訣竅在於選對鏡子，使它恰好把某個選定向量翻到某條座標軸上，一舉把該向量除一項以外的所有分量都壓成零。串接幾個這樣的反射，正是最可靠地建立矩陣 QR 分解的方法。
具體來說，豪斯霍爾德反射子是 H = I - 2 v v^T / (v^T v)，由單一向量 v（鏡面的法向量）建構的矩陣。把它作用在一個行上時，你選 v 使 H 把第一項以下的一切都歸零：H x = (alpha, 0, 0, ..., 0)^T。要把 A 三角化，你先反射第一行以在對角線下方放零，再在剩餘的下方區塊內反射以清掉第二行，依此類推；經 n 步後 A 變成上三角 R，而各反射的乘積就是 Q。你絕不把 H 存成完整矩陣——你以 x -> x - 2 (v^T x / v^T v) v 來作用它，這不過是一個內積加一次向量更新，既便宜又穩定。
豪斯霍爾德轉換是稠密 QR（以及為特徵值與 SVD 演算法做的 Hessenberg 與雙對角化約簡）背後的主力。它最大的優點是向後穩定：算出的分解正是某個非常接近 A 的矩陣的精確 QR，所以捨入誤差絕不爆增。一個細節：為避免在建構 v 時發生災難性抵消，你要把 alpha 的正負號選成指向遠離原向量的方向——這個微小細節對穩健性很重要。
要把 x = (3, 4)^T（長度 5）第一項以下的分量歸零，把它反射到軸上：H x = (-5, 0)^T 或 (5, 0)^T。選 alpha = -5（與首項 +3 異號）使 v = x - alpha e_1 = (8, 4)^T 夠大且尺度良好，避免抵消。一次反射，清掉一行。
一面鏡子把向量翻到某軸上，一次把整行對角線下方的分量歸零。
把豪斯霍爾德反射子當作秩一更新來作用，絕不要展成顯式稠密矩陣——這能保持低成本與演算法的向後穩定。並留意 v 的正負號選擇，否則抵消會悄悄侵蝕準確度。