複數除法（以分母有理化）（division by rationalizing）

把一個複數除以另一個複數，乍看頗為彆扭——分母裡放一個 i 是什麼意思？訣竅與你在實數分數中清除根號的辦法相同：把分子分母同乘以分母的共軛。因為一個分母乘以它自己的共軛總是實數（c + i d 乘以 c - i d = c^2 + d^2），這唯一的動作就把所有 i 推進分子，底下只剩一個純實數。

一步步來，要計算 (a + i b)/(c + i d)：把分子分母同乘以 c - i d。底下變成 c^2 + d^2（只要分母非零，它就是實的且為正）。上面變成 (a + i b)(c - i d) = (ac + bd) + i (bc - ad)。於是答案是 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + i (bc - ad)/(c^2 + d^2)——一個乾淨的 x + i y 形式，實部與虛部可直接讀出。小例子：1/(1 + i) = (1 - i)/((1 + i)(1 - i)) = (1 - i)/2 = 1/2 - (1/2)i。

這正是你構造任何非零複數之乘法逆元的辦法：1/z = z-bar / |z|^2。從幾何上看，取倒數會把模翻成 1/|z| 並把輻角反向。除法是四則運算的最後一個，一旦有了它，複數就是一個完整的數系——你能計算 z 的任何有理式，而永遠不必離開這個平面。